Cho 3 số x, y, z dương TM: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\). CMR:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+xz=xyz\)
\(\Rightarrow x^2+xy+yz+xz=x^2+xyz=x(x+yz)\)
\(\Leftrightarrow x+yz=\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}=\frac{(x+y)(x+z)}{x}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{x}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{x}}\geq \frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{y+xz}\geq \frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}\); \(\sqrt{z+xy}\geq \frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\)
Cộng theo vế các BĐT đã thu được ta có:
\(\text{VT}\geq \frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xyz}{\sqrt{xyz}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}=\text{VP}\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=3\)
giải phương trình :
\(\sqrt{10-x}\) + \(\sqrt{x+3}\) = 5
giải phương trình
\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}=2\)
cho biểu thức.\(\left(x+\sqrt{x^2+2018}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2018}\right)=2018\). Hãy tính tổng S=x+y
cho biểu thức
A=\(\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x^3-1}\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\) x>0,x≠1
a.Rút gọn biểu thức A
b.Tìm x để giá trị A=\(\dfrac{3}{4}\)
Tìm x:
a,\(\dfrac{\left(7-x\right)\sqrt{7-x}+\left(x-5\right)\sqrt{x-5}}{\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}}\) =2
b,\(\sqrt{3x^2-4x}=2x-3\)
Giải phương trình vô tỉ :
\(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}-\sqrt{x-4}+\sqrt{x+9}=0\)
Rút gọn:
E=\(\dfrac{\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-4}}}{\sqrt{x^2-4}+x+2}\)
1. Giải phương trình: x2+2x\(\sqrt{x+\dfrac{1}{x}}\)= 8x-1
2. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+y+z = 0 và xyz khác 0
Tính giá trị biểu thức: P=\(\dfrac{x^2}{y^2+z^2-x^2}+\dfrac{y^2}{z^2+x^2-y^2}+\dfrac{z^2}{x^2+y^2-z^2}\)
Các bạn giúp mk vs mk cần gấp!
\(\sqrt{3-\sqrt{5}}\sqrt{3+\sqrt{5}}\)
giải phương trình vô tỉ sau
\(\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+2}=x+\dfrac{4}{x}\)
\(x^2-3x+1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{x^4+x^2+1}=0\)
Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến