Đáp án:
\(M\left( { - 36;16;0} \right)\).
Giải thích các bước giải:
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - 3\overrightarrow {IC} = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( {2 - x; - 1 - y;3 - z} \right)\\\overrightarrow {IB} = \left( {4 - x; - y;1 - z} \right)\\\overrightarrow {IC} = \left( { - 10 - x;5 - y;3 - z} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x + 4 - x - 3\left( { - 10 - x} \right) = 0\\ - 1 - y - y - 3\left( {5 - y} \right) = 0\\3 - z + 1 - z - 3\left( {3 - z} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 36 = 0\\y - 16 = 0\\z + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 36\\y = 16\\z = - 13\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow I\left( { - 36;16; - 13} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,M{A^2} + M{B^2} - 3M{C^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - 3\overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - 3I{C^2}\\ = - M{I^2} + \left( {I{A^2} + I{B^2} - 3I{C^2}} \right)\end{array}\)
Do \(I{A^2} + I{B^2} - 3I{C^2} = const\) nên \(M{A^2} + M{B^2} - 3M{C^2}\) lớn nhất khi và chỉ khi \( - M{I^2}\) lớn nhất.
\( \Rightarrow M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Rightarrow MI\) nhỏ nhất.
\( \Rightarrow M\) là hình chiếu của I trên \(\left( {Oxy} \right)\).
Vậy \(M\left( { - 36;16;0} \right)\).
