Đáp án:
1. Ta có
`a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`
`<=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0`
`<=> [(a + b)^3 + c^3] - [3ab(a + b) + 3abc] = 0`
`<=> (a + b + c)[(a + b)^2 - (a + b)c + c^2] - 3ab(a + b + c) = 0`
`<=> (a + b + c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab) = 0`
`<=> (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0`
Do ` a + b + c ne 0`
`<=> a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0`
`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc- 2ca = 0`
`<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc +c^2) + (c^2 - 2ca+ a^2) = 0`
`<=> (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0`
`<=> {a - b = 0 <=> a = b`
`{b - c = 0 <=> b = c`
`{c - a = 0 <=> c = a`
`<=> a = b = c`
`-> N = (a^2 + a^2 + a^2)/(a + a + a)^2`
`= [3a^2]/(9a^2)`
`= 1/3`
2. Ta có hpt `{a^2 + b^4 + c^4 + d^8 = 1 (1)`
`{a^{2016} + b^{2017} + c^{2018} + d^{2019} = 1 (2)`
Lấy `(1) - (2)` ta được
`a^2(1 - a^{2014}) + b^4(1 - b^{2013}) + c^4(1 - c^{2014}) + d^8(1 - d^{2011}) = 0`
Do `a^2 , b^4 , c^4 , d^8 ≥ 0`
mà `a^2 + b^4 + c^4 + d^8 = 1`
`-> a^2 , b^4 , c^4 , d^8 ≤ 1`
`-> a,b,c,d ≤ 1`
`-> a^{2014} , b^{2013} , c^{2014} ,d^{2011} ≤ 1`
`-> 1 - a^{2014} , 1 - b^{2013} , 1 - c^{2014} , 1 - d^{2011} ≥ 0`
`-> a^2(1 - a^{2014} ), b^4(1 - b^{2013}) , c^4(1 - c^{2014} ) , d^8(1 - d^{2011}) ≥ 0`
`-> a^2(1 - a^{2014}) + b^4(1 - b^{2013}) + c^4(1 - c^{2014}) + d^8(1 - d^{2011}) ≥ 0`
Dấu "=" xảy ra
`<=> [a^2(1 - a^{2014}) = 0 <=> [a = 0 `
`[a = ± 1`
`[ b^4(1 - b^{2013}) = 0 <=> [b = 0`
`[b = 1`
`[c^4(1 - c^{2014}) = 0 <=> [c = 0`
`[c = ± 1`
`[d^8(1 - d^{2011}) = 0 <=> [d = 0`
`[d = 1`
Kết hợp `GT`
`-> (a,b,c,d)` là hoán vị của `(0,0,0,1)`
Ta có
`M = a^3 - a + 3b^4 - 3b + 5c^5 - 5c + 7d^6 - 7d`
`= a(a^2 - 1) + 3b(b^3 - 1) + 5c(c^4 - 1) + 7d(d^5 - 1)`
Dễ thấy `M = 0`
Giải thích các bước giải:
