Vì `a,b>0` nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
`a +b \ge 2 . \sqrt{ab}`
`<=> 1 \ge 2 . \sqrt{ab} (do\ a+ b = 1)`
`<=> 1 \ge 2 . \sqrt{ab} (do\ a+ b = 1)`
`<=> 1/2 \ge \sqrt{ab}`
`<=> \sqrt{1/4} \ge \sqrt{ab}`
`<=> 1/4 \ge ab`
`<=> ab \le 1/4`
Ta có :
`1/(a+1) + 1/(b+1) `
` = (b+1)/((a+1).(b+1)) + (a+1)/((a+1).(b+1)) `
`= (a+1+b+1)/((a+1).(b+1))`
` = (a+b+2)/(ab+a+b+1) `
`= (1 + 2 )/ (ab+1+1) (do\ a+b=1)`
` = 3/(ab+2)`
Có : `ab \le 1/4` nên `ab + 2 \le 9/4`
`=> 3/(ab+2) \ge 3 : 9/4`
`=> 3/(ab+2) \ge 4/3`
`=> 1/(a+1) + 1/(b+1) \ge 4/3`
