cho a,b,c>0 Chứng minh rằng \(abc+2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\right]\ge a+b+c\)

sonden2000

6 năm trước

cho a,b,c>0 Chứng minh rằng

\(abc+2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\right]\ge a+b+c\)

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 171 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Trucly0311

\(BĐT\Leftrightarrow abc+2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c+3\right)\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\left(a+b+c\right)+3\ge\sqrt{2}\left(a+b+c-abc-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(a-1\right)^2\ge\sqrt{2}\left[a\left(1-bc\right)+b+c-2\right]\)

Theo nguyên lý Diriclet , trong 3 số a-1 ;b-1; c-1 có ít nhất 2 số cùng dấu. Giả sử đó là b-1 và c-1 thì \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)

hay \(bc-1\ge b+c-2\Leftrightarrow1-bc\le2-b-c\)

Do đó \(VF\le\sqrt{2}\left(1-a\right)\left(b+c-2\right)\)

Giờ chỉ cần chứng minh \(\sum\left(a-1\right)^2\ge\sqrt{2}\left(1-a\right)\left(b+c-2\right)\)

và điều này hiển nhiên đúng theo BĐT AM-GM:

\(\sum\left(a-1\right)^2=\left(1-a\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge\left(1-a\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b+c-2\right)^2\ge\sqrt{2}\left|\left(1-a\right)\left(b+c-2\right)\right|\ge\sqrt{2}\left(1-a\right)\left(b+c-2\right)\)

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s: có nhiều cách làm

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau

a. 3xy + x - y = 1

b. \(2x^2+3xy-2y^2=7\)

c.\(x^3-y^3=91\)

d.\(x^2-xy=6x-5y-8\)

e.\(x^2-2y^2=5\)

(x-5) (x-4)=0

một hìn

một hình tròn có chu vi là 21, 98 . hãy tính đường kính và bán kính của hình tròn đó ?

gúp mik với

h tròn có chu vi là 21, 98 dm . hãy tính đường kính và bán kính của hình tròn dó ?

1. CMR: \(\forall\)n\(\ge\)1, n\(\in\)N. Ta có( n^3 + 3n^2 + 5n) chia hết cho 3

2.CMR: x\(e\)-1,y\(e\)-1 thì x+y+xy\(e\)-1

3. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi có 1 góc bằng tổng 2 góc còn lại

BẠN NÀO BIẾT LÀM GIÚP MÌNH VỚI Ạ MÌNH ĐANG CẦN GẤP

tìm x e Z biết: /x/ + x= 0 ( /x/ là giá trị tuyệt đối của x)

Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(4;3), B(-1,2), C(1;-1)

Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hbh.

Chứng minh : ABCD thẳng hàng

cho a,b,c là các số thực dương

cmr \(\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ca}+\dfrac{c^5}{ab}\ge a^3+b^3+c^3\)

với a ,b,c>0

\(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}+\sqrt[3]{4\left(b^3+c^3\right)}+\sqrt[3]{4\left(c^3+a^3\right)}\ge2\left(a+b+c\right)\)

√x+3 + √5-x = 3√(5-x)(x+3) -8

cái dấu trong bài toán là dấu căn nha

tống các ngiệm của phương trình căn 3x-3 - căn 5-x - căn 2x-4 =0

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến