Cho a, b, c > 0 và a + b + c + ab + bc + ca = 6 Tìm min của P = $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$

ppn1102.vn

6 năm trước

Cho a, b, c > 0 và a + b + c + ab + bc + ca = 6

Tìm min của P = $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 406 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

heoheo

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}$

Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta luôn có: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

$\Rightarrow P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq a^2+b^2+c^2$ (1)

Sử dụng những bđt rất quen thuộc sau:

$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

$ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$

Cộng vào suy ra $6\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a^2+b^2+c^2$

Đặt $\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=t\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}$

Ta có $6\leq t+\frac{t^2}{3}\Leftrightarrow t^2+3t-18\geq 0$

$\Leftrightarrow (t+6)(t-3)\geq 0$

Vì $t>0\Rightarrow t+6>0\Rightarrow t-3\geq 0\Rightarrow t\geq 3$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\geq 3(2)$

Từ $(1),(2)\Rightarrow P\geq 3\Leftrightarrow P_{\min}=3$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Rút gọn biểu thức sau:

M= $\dfrac{1-2sin^2\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}$ .

1. Chứng minh rằng: phương trình $x^2-\left(m-1\right)x+2m-7=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Tìm GTNN của $T=\dfrac{1}{\left(x_1-1\right)^{2018}}+\dfrac{1}{\left(x_2-1\right)^{2018}}$ với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình.

2. Giải phương trình $\left(x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=\left(x-1\right)\left(2x-1\right)$

3. Giải hệ phương trình $\left\{{}\begin{matrix}x\left(x^2+\left(y-z\right)^2\right)=2\\y\left(y^2+\left(z-x\right)^2\right)=16\\z\left(z^2+\left(x-y\right)^2\right)=30\end{matrix}\right.$

Hôm nay Hoa được mẹ giao nhiệm vụ đi ra chợ mua đồ. Mẹ dặn Hoa mua 3 gói gia vị và 15 gói mì tôm. Sau khi lấy đồ, Hoa đưa cho cô bán hàng 2 tờ 50 000 đồng thì cô trả lại 30 000 đồng.Hoa liền nói:- Cô ơi, cô tính sai rồi ạ.Theo em Hoa nói đúng hay sai? Vì sao?

16x2-(4x-5)2=15

(2x+3)2-4(x-1)(x+1)=49

(2x+1)(2x-1)+(1-2x)2=18

mọi nhười lm ơn giúp mình với nha ...mik đang cần gấp ngay bây giờ lun

thank you

Cho x,y,z là số thực. Chứng minh rằng :

x2 + y2 + z2 + x2y2z2 - 4xyz + y2z2 - 2yz + 1 ≥ 0

Cho hai số thực x, y. Chứng minh rằng :

3x2 + 5y2 - 2x - 2xy + 1 > 0

Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn $a+b+c=3$ và $ab+bc+ac=3$

Tìm min của $P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$

Xét dấu biểu thức f(x )=2x²-5x-3

CMR: $\dfrac{a}{b}+\sqrt{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[3]{\dfrac{c}{a}}\ge\dfrac{5}{2}$

giúp tớ với Nguyễn Thanh Hằng,nguyen van tuan,Nguyễn Huy Tú,Akai Haruma,Ace Legona

Giải pt:

$2x+\sqrt{2x+1}=\sqrt{x+3}+\sqrt{1+\sqrt{x+3}}$