Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{{a^2}}}{{b - 1}} + 4\left( {b - 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{b - 1}}.4\left( {b - 1} \right)} = 4a\\
\frac{{{b^2}}}{{c - 1}} + 4\left( {c - 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{{{b^2}}}{{c - 1}}.4.\left( {c - 1} \right)} = 4b\\
\frac{{{c^2}}}{{a - 1}} + 4\left( {a - 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{{{c^2}}}{{a - 1}}.4\left( {a - 1} \right)} \ge 4c\\
\Rightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{{b - 1}} + 4\left( {b - 1} \right)} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{{c - 1}} + 4\left( {c - 1} \right)} \right) + \left( {\frac{{{c^2}}}{{a - 1}} + 4\left( {a - 1} \right)} \right) \ge 4a + 4b + 4c\\
\Leftrightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{{b - 1}} + \frac{{{b^2}}}{{c - 1}} + \frac{{{c^2}}}{{a - 1}}} \right) + 4a + 4b + 4c - 12 \ge 4a + 4b + 4c\\
\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{b - 1}} + \frac{{{b^2}}}{{c - 1}} + \frac{{{c^2}}}{{a - 1}} \ge 12
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2
