Cho $a\in\left[1;2\right]$, chứng minh rằng : \(\left(2^a+3^a+4^a\right)\left(6^a+8^a+12^a\right)

linhehe

6 năm trước

Cho $a\in\left[1;2\right]$ , chứng minh rằng : $\left(2^a+3^a+4^a\right)\left(6^a+8^a+12^a\right)<24^{a+1}$

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 276 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ngoctri9755

$\left(2^a+3^a+4^a\right)\left(6^a+8^a+12^a\right)<24^{a+1}$

$\Leftrightarrow\left(2^a+3^a+4^a\right)\left(\frac{1}{2^a}+\frac{1}{3^a}+\frac{1}{4^a}\right)<24$

Do $a\in\left[1;2\right]\Rightarrow2\le2^a\le4;3\le3^a\le9;4\le4^a\le16$

$\Rightarrow2\le2^a\le16;2\le3^a\le16;2\le4^a\le16$

Với $x\in\left[2;16\right]$ ta có :

$\left(x-2\right)\left(x-16\right)\le0\Leftrightarrow x^2-18x+32\le0\Leftrightarrow x-18+\frac{32}{x}\le0\Leftrightarrow\frac{32}{x}\le18-x$

Từ đó suy ra :

$32\left(\frac{1}{2^a}+\frac{1}{3^a}+\frac{1}{4^a}\right)<54-\left(2^a+3^a+4^a\right)$

$\Leftrightarrow\frac{1}{2^a}+\frac{1}{3^a}+\frac{1}{4^a}<\frac{54-\left(2^a+3^a+4^a\right)}{32}$

$\Leftrightarrow\left(2^a+3^a+4^a\right)\left(\frac{1}{2^a}+\frac{1}{3^a}+\frac{1}{4^a}\right)<\frac{\left(2^a+3^a+4^a\right)\left[54-\left(2^a+3^a+4^a\right)\right]}{32}\le\frac{1}{32}\left[\frac{\left(2^a+3^a+4^a\right)\left(54-\left(2^a+3^a+4^a\right)\right)}{2}\right]^2=\frac{729}{32}<24$

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Giải hệ phương trình :

$\begin{cases}x^2+\left(y^2-y-1\right)\sqrt{x^2+2}-y^3+y+2=0\left(1\right)\\\sqrt[3]{y^2-3}-\sqrt{xy^2-2x-2}+x=0\left(2\right)\end{cases}$ $\left(x,y\in R\right)$

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của cạnh CD và đường thẳng BN có phương trình là $13x-10y+13=0$ , điểm $M\left(-1;2\right)$ thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC=4AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng 2AC=2AB và điểm H thuộc đường thẳng $\Delta:2x-3y=0$

Cho tam giác ABC có diện tích $S=8$ , hai đỉnh $A\left(1;-2\right);B\left(2;3\right)$

Tìm tọa độ đỉnh C, biết đỉnh C, biết rằng đỉnh C nằm trên đường thẳng $d:2x+y-2=0$

Viết phương trình của phân giác góc nhọn tạo bởi đường thẳng

$d_1:4x+3y-5=0$

$d_2:\begin{cases}x=-2-4t\\y=2+3t\end{cases}$ $\left(t\in R\right)$

Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC. Một đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt CD tại F. Đường thẳng chứa đường trung tuyến AM của tam giác AEF cắt CD tại K. Tìm tọa độ điểm D biết A(-6;6). M(-4;2) và K(-3;0)

Xét a, b, c là các số thực thuộc đoạn $\left[1;2\right]$ và thỏa mãn $a+b+c\le4$ . Chứng minh rằng :

$\frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2}>\frac{2}{3}$

Giải phương trình : $\sqrt[3]{3-x^3}=2x^3+x-3$ $\left(x\in R\right)$

Giải hệ phương trình sau :

$\begin{cases}\left(x+y\right)3^{y-x}=\frac{5}{27}\\3\log_5\left(x+y\right)=x-y\end{cases}$ $\left(x,y\in R\right)$

Giải phương trình :

$x+\sqrt{x^2+1}=3^x$

Giải bất phương trình :

$2^x+4^x+2.6^x>2^{x+1}+4.3^x+2$