Cho \(\Delta ABC\), các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại điểm I. Từ I kẻ IH vuông góc với BC \(\left( H\in BC \right)\). Tia AI cắt BC tại M. Chứng minh: \(\widehat{BIM}=\widehat{CIH.}\) A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: Xét \(\Delta ABC\) có các tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACB}\) cắt nhau tại I (gt) Suy ra, AI là phân giác của \(\widehat{CAB}\) (tính chất 3 đường phân giác của tam giác) \(\Rightarrow \widehat{CAI}=\widehat{BAI}\) (tính chất tia phân giác của một góc) BI là phân giác của \(\widehat{ABC}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{IBA}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\) (tính chất tia phân giác của một góc) CI là phân giác của \(\widehat{ACB}\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{ICB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}\) (tính chất tia phân giác của một góc) Vì \(\widehat{MIB}\) là góc ngoài của \(\Delta BIA\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{BIM}=\widehat{IBA}+\widehat{BAI}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{BAC}}{2}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{ACB}}{2}={{90}^{0}}-\widehat{BCI}\left( 1 \right)\) Xét \(\Delta HIC\) có: \(\widehat{CIH}={{90}^{0}}-\widehat{ICH}\left( 2 \right)\) (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{BIM}=\widehat{CIH}\)