Giải thích các bước giải:
1.Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to BE\perp EC, BF\perp FC$
$\to BE\perp AC, CF\perp AB$
Mà $BE\cap CF=H$
$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC\to AD\perp BC$
2.Xét $\Delta BHD, \Delta BEC$ có:
Chung $\hat B$
$\widehat{BDH}=\widehat{BEC}(=90^o)$
$\to\Delta BDH\sim\Delta BEC(g.g)$
$\to \dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}$
$\to BD.BC=BH.BE$
Tương tự chứng minh được $CH.CF=CD.CB$
$\to BH.BE+CH.CF=BD.BC+CD.CB=BC^2=(2R)^2=4R^2$
3.Ta có $\widehat{HFB}=\widehat{HDB}=90^o,\widehat{HDC}=\widehat{HEC}=90^o$
$\to BDHF, HDCE$ nội tiếp
$\to \widehat{EBC}=\widehat{HBD}=\widehat{DFH}=\widehat{MFC}=\widehat{MBC}$
$\to CE=CM$
$\to C$ nằm giữa cung $EM\to OC\perp EM$
$\to EM\perp BC$
4.Ta có $\widehat{FEH}=\widehat{FEB}=\widehat{FCB}=\widehat{HCD}=\widehat{HED}$
$\to EH$ là phân giác $\widehat{FEI}$
Mà $EH\perp EC\to EC$ là phân giác ngoài đỉnh $E$ của $\Delta EFI$
$\to \dfrac{HF}{HI}=\dfrac{EF}{EI}=\dfrac{CF}{CI}(*)$
Ta có:
$\dfrac{1}{CI}+\dfrac{1}{CF}=\dfrac{2}{CH}$
$\leftrightarrow \dfrac{1}{CI}-\dfrac{1}{CH}=\dfrac{1}{CH}-\dfrac{1}{CF}$
$\leftrightarrow \dfrac{CH-CI}{CI.CH}=\dfrac{CF-CH}{CH.CF}$
$\leftrightarrow \dfrac{HI}{CI.CH}=\dfrac{FH}{CH.CF}$
$\leftrightarrow \dfrac{HI}{CI}=\dfrac{FH}{CF}$
$\leftrightarrow \dfrac{HF}{HI}=\dfrac{CF}{CI}$ đúng $(*)$
$\to đpcm$
5.Ta có $C$ nằm giữa cung $EM$
$\to \widehat{DFE}=\widehat{EFM}=2\widehat{EFC}=\widehat{EOC}$
$\to DOEF$ nội tiếp
