Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Biến đổi và áp dụng tính chất của bất đẳng thức \(a > b \Leftrightarrow a + c > b + c\) (cộng đều hai vế với một số thực ta được bất đẳng thức cùng chiều).Giải chi tiết:Ta có:
+) \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{b}{a} < \dfrac{d}{c}\)\( \Rightarrow \dfrac{b}{a} + 1 < \dfrac{d}{c} + 1\)\( \Rightarrow \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{a} < \dfrac{d}{c} + \dfrac{c}{c}\)\( \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{a} < \dfrac{{c + d}}{c}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
+) \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{b} + 1 > \dfrac{c}{d} + 1\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{b} > \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{d}\)\( \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{b} > \dfrac{{c + d}}{d}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.
+) Ta có:
\(\begin{array}{l}a + b + c \le \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ac} \\ \Rightarrow 2a + 2b + 2c \le 2\sqrt {ab}  + 2\sqrt {bc}  + 2\sqrt {ac} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab}  + b + b - 2\sqrt {bc}  + c + a - 2\sqrt {ac}  + c \le 0\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt a  - \sqrt c } \right)^2} \le 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Vì \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\), \({\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\), \({\left( {\sqrt a  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) với mọi số dương \(a,\,\,b,\,\,c\).
\( \Rightarrow {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt a  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  - \sqrt b  = 0\\\sqrt b  - \sqrt c  = 0\\\sqrt c  - \sqrt a  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \sqrt a  = \sqrt b  = \sqrt c \) \( \Leftrightarrow a = b = c\)(mâu thuẫn với đề bài)
\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.
+) Ta có:
\(\begin{array}{l}2\sqrt[{}]{{ab}}\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) \ge 2ab + a + b\\ \Leftrightarrow 2a\sqrt b  + 2b\sqrt a  \ge 2ab + a + b\\ \Leftrightarrow 2a\sqrt b  + 2b\sqrt a  \ge ab + a + ab + b\\ \Leftrightarrow ab - 2a\sqrt b  + a + ab - 2b\sqrt a  + b \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {ab}  - \sqrt a } \right)^2} + {\left( {\sqrt {ab}  - \sqrt b } \right)^2} \le 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab}  - \sqrt a  = 0\\\sqrt {ab}  - \sqrt b  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab}  - \sqrt a  = 0\\\sqrt {ab}  - \sqrt b  = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a \left( {\sqrt b  - 1} \right) = 0\\\sqrt b \left( {\sqrt a  - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1\) (mâu thuẫn với đề bài)
\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.
Chọn A.