Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Lời giải chi tiết. Ta có : \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}=\left( 1+\frac{1}{1+a} \right)+\left( -1+\frac{2}{1+2b} \right)=\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+2b}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+\frac{1}{2}}\,\,\left( 1 \right).\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( \frac{1}{a+1},\frac{1}{b+\frac{1}{2}} \right)\) ta nhận được \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{b+\frac{1}{2}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{1+a}.\frac{1}{b+\frac{1}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}}\,\,\,\left( 2 \right).\) Mặt khác từ bất đẳng thức Cô-si ta cũng có \(\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}\le \frac{\left( a+1 \right)+\left( b+\frac{1}{2} \right)}{2}=\frac{\left( a+b \right)+\frac{3}{2}}{2}\le \frac{7}{4}.\) Do đó \(\frac{1}{\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}}\ge \frac{4}{7}\,\,\left( 3 \right).\) Từ \(\left( 3 \right)\),\(\left( 2 \right)\) và \(\left( 1 \right)\) ta nhận được: \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}\ge \frac{8}{7}.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + a}} = \frac{1}{{b + \frac{1}{2}}}\\\sqrt {a + 1} = \sqrt {b + \frac{1}{2}} \\a + b = 2\\a,b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + \frac{1}{2}\\a + b = 2\\a,b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = \frac{5}{4}\end{array} \right..\) Chọn đáp án C.