Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Đặt \(m = 3a\) khi đó bất phương trình đã cho trở thành
\({\log _m}11 + {\log _{\frac{1}{7}}}\left( {\sqrt {{x^2} + mx + 10}  + 4} \right).{\log _m}\left( {{x^2} + mx + 12} \right) \ge 0\) \(\left( 1 \right)\)
Điều kiện của bất phương trình là \(m > 0;m \ne 1;{x^2} + mx + 10 \ge 0\)
Ta có:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 - {{\log }_7}\left( {\sqrt {{x^2} + mx + 10}  + 4} \right).{{\log }_{11}}\left( {{x^2} + mx + 12} \right)}}{{{{\log }_{11}}m}} \ge 0\) \(\left( 2 \right)\)
Đặt \(u = {x^2} + mx + 10;u \ge 0\)
+ Với \(0 < m < 1\). Ta có:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( u \right) = {\log _7}\left( {\sqrt u  + 4} \right).{\log _{11}}\left( {u + 2} \right) \ge 1 = f\left( 9 \right)\) \(\left( 3 \right)\)
Vì \(f\left( u \right)\) là hàm tăng trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên từ \(\left( 3 \right)\) ta có
\(f\left( u \right) \ge f\left( 9 \right) \Leftrightarrow u \ge 9 \Leftrightarrow {x^2} + mx + 1 \ge 0\) \(\left( 4 \right)\)
\(\left( 4 \right)\) vô số nghiệm vì \(\Delta  = {m^2} - 4 < 0\) với \(\forall m \in \left( {0;1} \right)\).
Suy ra \(0 < m < 1\) không thỏa mãn bài toán.
+ Với \(m > 1\). Ta có:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( u \right) \le f\left( 9 \right) \Leftrightarrow 0 \le u \le 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + mx + 10 \ge 0\,\,\,\left( 5 \right)\\{x^2} + mx + 1 \le 0\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)
Xét \(\left( 6 \right)\), ta có \(\Delta  = {m^2} - 4\).
\({m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 2\) thì \(\left( 6 \right)\) vô nghiệm. Không thỏa bài toán.
\({m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2\) thì \(\left( 6 \right)\) có nghiệm là đoạn \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\), lúc này \(\left( 5 \right)\) nhận hơn \(1\) số của \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) làm nghiệm. Không thỏa bài toán.
\({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(\left( 6 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x =  - 1\) và \(x =  - 1\) thỏa mãn \(\left( 5 \right)\). Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất là \(x =  - 1\).