Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: \({\log _a}{x^m} = m{\log _a}x\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)\).Giải chi tiết:Ta có \(f\left( k \right) = {\left( {{k^2} + 3k + 2} \right)^{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)}}\)
\( \Rightarrow \log f\left( k \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right).\log \left| {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \right|\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\log f\left( 1 \right) + \log f\left( 2 \right) + ... + \log f\left( n \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - \log 2.3 + \log 3.4 - \log 4.5 + ... + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + n\pi } \right).\log \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - \log 2 - \log 3 + \log 3 + \log 4 - \log 4 - \log 5 + .... + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + n\pi } \right).\log \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - \log 2 + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + n\pi } \right).\log \left( {n + 2} \right)} \right| = 1\end{array}\)
TH1: \(n\) chẵn
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| { - \log 2 + \log \left( {n + 2} \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \log 2 + \log \left( {n + 2} \right) = 1\\ - \log 2 + \log \left( {n + 2} \right) =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {n + 2} \right) = \log 20\\\log \left( {n + 2} \right) = \log \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n + 2 = 20\\n + 2 = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\n =  - \dfrac{9}{5}\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH2: \(n\) lẻ
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| { - \log 2 - \log \left( {n + 2} \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \log 2 - \log \left( {n + 2} \right) = 1\\ - \log 2 - \log \left( {n + 2} \right) =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {n + 2} \right) =  - \log 20 = \log \dfrac{1}{{20}}\\\log \left( {n + 2} \right) = \log 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n + 2 = \dfrac{1}{{20}}\\n + 2 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - \dfrac{{39}}{{20}}\,\,\,\left( {KTM} \right)\\n = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tổng tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện là \(3 + 18 = 21\).
Chọn C.