Cho các phương trình $x^{2}$ + ax + b = 0 và $x^{2}$ + bx + a = 0, trong đó $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm

emilytran240720

2 năm trước

Loga Sinh Học lớp 12

0 lượt thích 43 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyenphucloi2710

Đáp án:

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm

$x^{2} + b x + c = 0$ (1) có $Δ = b^{2} - 4 c$

$x^{2} + c x + b = 0$ (2) có $Δ = c^{2} - 4 b$

Ta cần chứng minh $Δ_{1}$ $\geq 0$ hoặc $Δ_{2}$ $\geq 0$

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm:

$Δ_{1} = b^{2} - 4 c < 0$ và $Δ_{2} = c^{2} - 4 b < 0 \Rightarrow Δ_{1} + Δ_{2} = (b^{2} - 4 c) + (c^{2} - 4 b) = b^{2} + c^{2} - 4 (b + c) < 0 (*)$

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow b + c = \frac{1}{2} b c$ vì a và b khác 0

Suy ra: $Δ_{1} + Δ_{2} = b^{2} + c^{2} - 4 \frac{1}{2} b c = b^{2} + c^{2} - 2 b c = (b - c)^{2}$

=> Điều giả sử sai

Điều này chứng tỏ $(*)$ không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra

Từ đó suy ra một trong hai phương trình trên có nghiệm

Giải thích các bước giải:

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

cuongbh1977

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm

$x^{2} + b x + c = 0$ (1) có $Δ = b^{2} - 4 c$

$x^{2} + c x + b = 0$ (2) có $Δ = c^{2} - 4 b$

Ta cần chứng minh $Δ_{1}$ $\geq 0$ hoặc $Δ_{2}$ $\geq 0$

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm:

$Δ_{1} = b^{2} - 4 c < 0$ và $Δ_{2} = c^{2} - 4 b < 0 \Rightarrow Δ_{1} + Δ_{2} = (b^{2} - 4 c) + (c^{2} - 4 b) = b^{2} + c^{2} - 4 (b + c) < 0 (*)$

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow b + c = \frac{1}{2} b c$ vì a và b khác 0

Suy ra: $Δ_{1} + Δ_{2} = b^{2} + c^{2} - 4 \frac{1}{2} b c = b^{2} + c^{2} - 2 b c = (b - c)^{2}$

=>điều giả sử sai

Điều này chứng tỏ $(*)$ không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra

Từ đó suy ra một trong hai phương trình trên có nghiệm

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tích phân của dx/(1+x^2)^3 đây là 1 bài toán lớp 12 và em sắp thi DH nên rất cần sự giúp đỡ của mọi người !!

Giúp mình với các bạn ơi <3 Cần gấp nha

1.khi đưa nhiệt độ từ 2 độ c lên 25 độ c thanh nhôm sẽ a.tăng khối lượng,b.giảm khối lượng,c.tăng thể tích,d.b và c đúng 2.một vật hình trụ làm bằng nhôm.làm lạnh bằng cách nhúng vào chậu nước đá thì a.kl của vật giảm,b.klr của vật tăng,c.tlr của vật giảm,d.chiều cao tăng 3.khi lắp khâu vào cán dao,người thợ rèn phải đun nóng khâu mới tra được vào vì a.cv khâu lớn hơn cv cán,b.cv khâu nhỏ hơn cv cán,c.khâu co dãn vì nhiệt,d.vì một lí do khác 4.làm lạnh một vật rắn thì klr của vật rắn tăng vì a.kl vật tăng,b.thể tích vật tăng,c.thể tích vật giảm,d.kl vật tăng đồng thời thể tích giảm 5.đường kính của quả cầu đặc kim loại sẽ thay đổi ntn khi nhiệt thay đổi a.tăng,b.giảm,c.không thay đổi,d.tăng hoặc giảm 6.một tấm sắt có lỗ ở giữa khi đun nóng thì toàn bộ tấm sắt sẽ a.đường kính lỗ tăng,.b.đường kính lỗ giảm vì sắt làm lỗ hẹp,c.đường kính lỗ ko thay đổi chỉ có đường kính ngồi của đĩa tăng,d.đường kính lỗ tăng hay giảm tùy kích thước

Biết tổng số tiền trong đơn hàng là 2069000, trong đó đã có 10% thuế, hỏi giá của món hàng khi chưa có thuế là bao nhiêu? Giúp mình nhé,cảm ơn nhiều!

Tìm các giá trị của x sao cho biểu thức D = x mũ 2 - 3x có giá trị dương

giúp mk nhé!!!!!!! Tính công cơ học của một người nặng 50 kg thực hiện khi đi đều trên một đoạn đường nằm ngang 1 km. Biết rằng, công của một người khi đi đều trên đường nằm ngang thì bằng 0,05 lần công của lực nâng người đó lên độ cao bằng đoạn đường đó.

Giải giúp mình tất cả các bài với làm giúp mình nhé

Từ câu thơ " Con xin sống đẹp như niềm mẹ mong "trong bài Tình Mẹ ( Tử Nhi ) em có suy nghĩ gì về lẽ sống đẹp của bản thân Giúp mik với ak. Mik camon☺️

Cho hệ thống ròng rọc như hình vẽ, biết vật có khối lượng 120 kg được kéo lên cao 4 m, hiệu suất của ròng rọc là 80%. Công thực hiện để kéo vật là bao nhiêu?

Giải giúp mik bài 3 mng ơi Tks mng nhìu ah 😍

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến