Đáp án + giải thích các bước giải:
Câu này dễ nhất, làm trước. Điều phải chứng minh tương đương với:
`4(a^2+b^2+c^2)+2abc+16>=10(a+b+c)`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`2abc+1>=3\root{3}{a^2b^2c^2}=(9abc)/(3\root{3}{abc})>=(9abc)/(a+b+c)`
Áp dụng bất đẳng thức Schur:
`a^2+b^2+c^2+2abc+1>=a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)>=2(ab+bc+ca) `
Vậy ta cần chứng minh:
`3(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)+15>=10(a+b+c)`
`->2(a^2+1+b^2+1+c^2+1)+(a+b+c)^2+9>=10(a+b+c)`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`2(a^2+1+b^2+1+c^2+1)+(a+b+c)^2+9>=2(2a+2b+2c)+6(a+b+c)=10(a+b+c)`
`->đpcm `
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1`
