Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Ta có: \(60=3.4.5\)
+) Giả sử: cả \(x,\,\,y,\,\,z\) đều không chia hết cho 3.
Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 nên \({x^2};{y^2};{z^2}\) chia cho 3 dư 1.
Suy ra chia cho 3 dư 2 mà \({z^2}\) chia cho 3 dư 1 (vô lí)
Nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3.
Vậy \(xyz \vdots 3\) (1).
+) Giả sử cả \(x,\,\,y,\,\,z\) không chia hết cho 4. Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3. -) Xét TH1: Cả \(x,\,\,y,\,\,z\) lẻ suy ra \({{x}^{2}};{{y}^{2}};{{z}^{2}}\) chia 4 dư 1. \(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( \bmod 4 \right)\) ( loại ) -) Xét TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn \( \Rightarrow xyz \vdots 4\) -) Xét TH3: Có 1 số chẵn và 2 số lẻ. Với \(x,\,\,y\) lẻ thì \({{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod4 \right)\) ( loại do z chẵn nên \({{z}^{2}}\equiv 0\,\,\left( \bmod 4 \right)\)) Với \(x,\,\,\,z\) lẻ thì \({{y}^{2}}={{z}^{2}}-{{x}^{2}}=\left( z-x \right)\left( z+x \right)\). Ta luôn có \({y^2} = \left( {z - x} \right)\left( {z + x} \right)\,\, \vdots \,\,8\) mà \({y^2}\not \vdots 4\) (vô lí)
Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4.
Vậy \(xyz\vdots 4\) (2). +) Giả sử cả \(x,\,\,y,\,\,z\) không chia hết cho 5. Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4 suy ra \({x^2};{y^2};{z^2}\) chia cho 5 dư 1 hoặc -1. -) Xét TH1: \({{x}^{2}}\) chia cho 5 dư 1; \({{y}^{2}}\) chia cho 5 dư 1 \(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod5 \right)\) (loại) -) Xét TH2: chia cho 5 dư -1; \({y^2}\) chia cho 5 dư 1\) \Rightarrow {z^2} = {x^2} + {y^2} \equiv - 1\,\,\left( {\bmod 5} \right)\) (loại) -) Xét TH3: \({{x}^{2}}\) chia cho 5 dư 1; \({{y}^{2}}\) chia cho 5 dư -1\(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 5 \right)\) (loại) Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 5.
Vậy \(xyz \vdots 5\) (3). Từ (1); (2) và (3) \( \Rightarrow xyz\,\, \vdots \,\,3.4.5 = 60\,\,\left( {dpcm} \right)\).
