Giải thích các bước giải:
Ta có:
$x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz$
$=(x+y)^3+z^3 -3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)^3-3(x+y)z(x+y+z) -3xy(x+y+z)$
$=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)$
$=18((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)$
$=18(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$=9(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)$
$=9((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)$
$=9(x-y)^2+9(y-z)^2+9(z-x)^2$
$=(3\cdot (x-y))^2+(3\cdot (y-z))^2+(3\cdot (z-x))^2$
$\to x^3+y^3+z^3-3xyz$ là tổng của $3$ số chính phương
$\to đpcm$