Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a=x, b=y, c=z$ với $x, y, z>0$ và $x^2+2y^2+3z^2=1$
Ta có: $a^3+a^3+x^3\geq3a^2x,b^3+b^3+y^3\geq3b^2y,c^3+c^3+z^3\geq3c^2z $
$⇒2a^3$$\geq3a^2x-x^3$
$b^3+b^3+y^3\geq3b^2y ⇔3b^2\geq\frac{9}{2}yb^2-\frac{3}{2}y^3,c^3+c^3+z^3\geq3c^2z⇔2c^3\geq3c^2z-z^3$
$⇒4c^3\geq2(3c^2z-z^3).$ Cộng 3 BĐT cùng chiều ,suy ra:
$P\geq3(xa^2+\frac{3}{2}yb^2+2zc^2)-x^3-\frac{3}{2}y^3-2z^3.$Ta cần chọn $x, y, z$ để: $x:\frac{2}{3}y:2z=1:2:3$ và $x^2+2y^2+3z^2=1$
ADTC dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
$x=\frac{6}{\sqrt{407}},y=\frac{8}{\sqrt{407}},z=\frac{9}{\sqrt{407}}$
