Đáp án:
$GTLN$ của $P = 9 ⇔ a = \dfrac{7}{9}; b = \dfrac{4}{9} ; c = \dfrac{4}{9}$
Giải thích các bước giải:
Trước hết ta sẽ cm rằng với mọi $(a; b; c); (x; y; x) > 0$
ta luôn có BĐT :
$ ax + by + cz ≤ \sqrt{x² + y² + z²}.\sqrt{a² + b² + c²} (1)$
$ ⇔ ( ax + by + cz)² ≤ (x² + y² + z²)(a² + b² + c²)$
$ ⇔ a²x² + b²y² + c²z² + 2abxy + 2bcyz + 2cazx $
$ ≤ a²x² + b²x² + c²x² + a²y² + b²y² + c²y² + a²z² + b²z² + c²z²$
$ ⇔ - (a²y² - 2(ay)(bx) + b²x²) - (b²z² - 2(bz)(cy) + b²z²) - (c²x² - 2(cx)(az) + a²z²) ≤ 0$
$ ⇔ - (ay - bx)² - (bz - cy)² - (cx - az)² ≤ 0$ luôn đúng
Dấu $'=' ⇔ ay - bx = bz - cy = cx - az = 0$
$ ay = bx; bz = cy; cx = az ⇔ \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}$
Áp dụng $(1)$ với $x = 7; y = z = 4$ ta có:
$ P = 7a + 4b + 4c ≤ \sqrt{7² + 4² + 4²}.\sqrt{a² + b² + c²} = \sqrt{81}.\sqrt{1} = 9$
$ ⇒ GTLN$ của $P = 9 $
$ ⇔ \dfrac{a}{7} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{4}; a² + b² + c² = 1$
$ ⇔ a = \dfrac{7}{9}; b = \dfrac{4}{9} ; c = \dfrac{4}{9}$
