Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+2y+3z\ge 20\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\) A.13 B.15 C.10 D.9
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Cho các số thực dương \(x,\ y,\ z\) thỏa mãn \(x+2y+3z\ge 20\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\) Ta có: \(A=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}=\frac{1}{4}x+\left( \frac{3}{4}x+\frac{3}{x} \right)+\frac{1}{2}y+\left( \frac{1}{2}y+\frac{9}{2y} \right)+\frac{3}{4}z+\left( \frac{1}{4}z+\frac{4}{z} \right)\) Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số dương ta có: \(\begin{align} & +)\frac{3}{4}x+\frac{3}{x}\ge 2\sqrt{\frac{3}{4}x.\frac{3}{x}}=3 \\ & +)\frac{1}{2}y+\frac{9}{2y}\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}y.\frac{9}{2y}}=3 \\ & +)\frac{1}{4}z+\frac{4}{z}\ge 2\sqrt{\frac{1}{4}z.\frac{4}{z}}=2 \\\end{align}\) \(\Rightarrow A\ge \frac{1}{4}\left( x+2y+3z \right)+3+3+2=\frac{20}{4}+3+3+2=13\) Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{4}x = \frac{3}{x}\\\frac{1}{2}y = \frac{9}{{2y}}\\\frac{1}{4}z = \frac{4}{z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\) Chọn A