Đáp án:
`Max_P=4<=>(a,b,c)=(1,0,2)` và các hoán vị của nó.
Giải thích các bước giải:
Vì vai trò a,b,c như nhau nên ta giả sử:
`b<=a<=c`
`=>a-b>=0,a-c<=0`
`=>(a-b)(a-c)<=0`
`<=>a^2-ab-ac+bc<=0`
`<=>a^2+bc<=ab+ac`
`<=>ca^2+bc^2<=abc+ac^2`
`<=>ab^2+bc^2+ca^2<=abc+ac^2+ab^2`
Mà `abc>=0(a,b,c>=0)`
`=>P<=ab^2+2abc+ac^2`
`=>P<=a(b^2+2bc+c^2)`
`=>P<=a(b+c)^2`
`=>P<=a(3-a)^2`
Cần CM:
`a(3-a)^2<=4(@)`
`<=>a(a^2-6a+9)<=4`
`<=>a^3-6a^2+9a-4<=0`
`<=>a^3-2a^2+a-4a^2+8a-4<=0`
`<=>a(a^2-2a+1)-4(a^2-a+1)<=0`
`<=>(a-1)^2(a-4)<=0`
Vì `a+b+c=3`
`=>a=3-b-c<=3<4`
`=>a-4<0`
Mà `(a-1)^2>=0`
`=>(a-1)^2(a-4)<=0` luôn đúng.
`=>(@)` được chứng minh.
Hay `P<=4`
Dấu "=" xảy ra khi `(a,b,c)=(1,0,2)` và các hoán vị của nó.
