Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn: \({(a - b)^2} = a + b + 2\). Chứng minh rằng: \(\left( {1 + \frac{{{a^3}}}{{{{(b + 1)}^3}}}} \right)\left( {1 + \frac{{{b^3}}}{{{{(a + 1)}^3}}}} \right) \le 9.\)A.B.C.D.

lehuyen.270101

2 năm trước

Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn: \({(a - b)^2} = a + b + 2\). Chứng minh rằng: \(\left( {1 + \frac{{{a^3}}}{{{{(b + 1)}^3}}}} \right)\left( {1 + \frac{{{b^3}}}{{{{(a + 1)}^3}}}} \right) \le 9.\)
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 25 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ledienhuyen

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}{(a - b)^2} = a + b + 2\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2}\,\,\,\, = a + b + 2\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \,a + b + 2 + 2ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + a + b\,\, = \,a + b + 2 + 2ab + a + b\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + a} \right) + \left( {{b^2} + b} \right) = 2\left( {ab + a + b + 1} \right)\\ \Leftrightarrow a(a + 1) + b(b + 1) = 2(a + 1)(b + 1)\\ \Leftrightarrow \frac{{a(a + 1) + b(b + 1)}}{{(a + 1)(b + 1)}} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{b + 1}} + \frac{b}{{a + 1}} = 2.\end{array}\)
Đặt: \(x = \frac{a}{{b + 1}};y = \frac{b}{{a + 1}} \Rightarrow x + y = 2\)
\(\begin{array}{l}(1 + {x^3}){(1 + y)^3} \le 9\\ \Leftrightarrow 1 + {(xy)^3} + {x^3} + {y^3} \le 9\\ \Leftrightarrow {(xy)^3} + (x + y)[{(x + y)^2} - 3xy] \le 8\\ \Leftrightarrow xy({x^2}{y^2} - 6) \le 0\\\left( {do\;\;0 \le xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = 1} \right)\end{array}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0;\;b = 2\\a = 2;\;\;b = 0\end{array} \right..\)

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Xác định phương thức biểu đạt và phong cách ngôn ngữ.
A.
B.
C.
D.

Anh/chị viết đoạn văn (khoảng 200 từ) trình bày suy nghĩ của mình về ý kiến: “Đừng trông đợi một phép màu hay một ai đó sẽ mang hạnh phúc đế cho bạn.”
A.
B.
C.
D.

Văn bản trên thuộc phong cách ngôn ngữ gì?
A.
B.
C.
D.

Trong đoạn (3), tác giả đã nhắc đến những mùi thơm mộc mạc, chân chất nào?
A.
B.
C.
D.

Khi bàn về nhân vật người vợ nhặt trong truyện ngắn Vợ nhặt của Kim Lân, có ý kiến cho rằng, đó là một người phụ nữ trơ trẽn, táo tợn, liều lĩnh; tuy nhiên, cũng có người khẳng định đó là nhân vật mang trong mình những nét đẹp phẩm chất đáng quý của người phụ nữ Việt Nam.

Anh/chị suy nghĩ như thế nào về những ý kiến trên?
A.
B.
C.
D.

A.
B.
C.
D.

Vì sao cuộc khởi nghĩa Lý Bí được hào kiệt và nhân dân khắp nơi hưởng ứng?
A.
B.
C.
D.

Xác định phương thức biểu đạt chính của văn bản
A.
B.
C.
D.

Chỉ ra và nêu tác dụng biện pháp nghệ thuật trong câu: Hai cô gái, cùng một độ tuổi, cùng làm một công việc như nhau, nhưng lại gây cho tôi những ấn tượng hoàn toàn khác biệt. Một người mang đến cho tôi niềm vui, sự gần gũi, còn một người lại khiến tôi có cảm giác như thể xuất hiện của mình làm cho cô ấy khó chịu.
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến