Cho các số thực \(x,y,z\) thay đổi và thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left( xy+yz+2xz \right)-\frac{8}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}-xy-yz+2}\) là:A. \(\min \,P=-5\). B. \(\min \,P=5\).

quynhnga040191

2 năm trước

Cho các số thực \(x,y,z\) thay đổi và thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left( xy+yz+2xz \right)-\frac{8}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}-xy-yz+2}\) là:
A. \(\min \,P=-5\).
B.  \(\min \,P=5\).
C. \(\min \,P=3\).
D. \(\min \,P=-3\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 17 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Huyqwer

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Từ giả thiết ta có \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}-2xy-2yz-2xz=1\Leftrightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}=1+2xy+2yz+2xz\).
Thay vào biểu thức \(P\) ta được
\(\begin{array}{l}P = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - xy - yz + 2}} = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{1 + 2xy + 2yz + 2xz - xy - yz + 2}}\\ = {\left( {xy + yz + 2zx} \right)^2} - \frac{8}{{\left( {xy + yz + 2xz} \right) + 3}}\end{array}\)
Ta có \({{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+xz \right)\ge 0\Leftrightarrow 1+2\left( xy+yz+xz \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( xy+yz+xz \right)\le \frac{-1}{2}\).
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x+y+z=0\) và \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\).
Lại có \(\left| xz \right|\le \left| x \right|.\left| z \right|\le \frac{1}{2}\left( {{x}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( 1-{{y}^{2}} \right)\le \frac{1}{2}\)\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\le xz\le \frac{1}{2}\).
Hay giá trị nhỏ nhất của \(xz\)là \(\frac{-1}{2}\)\(\Leftrightarrow x=-z\)(vì tích âm nên hai số trái dấu).
Vậy \(\min \left( xy+yz+2.xz \right)=\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}=-1\) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\\x = - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = - z\\2{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\z = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\).
Đặt \(t=xy+yz+2xz\,\,\left( t\ge -1 \right)\) khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của \(P={{t}^{2}}-\frac{8}{t+3}\) với \(t\ge -1\).
Xét \(f\left( t \right)={{t}^{2}}-\frac{8}{t+3}\,\,\left( t\ge -1 \right)\) có \({f}'\left( t \right)=2t+\frac{8}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}=\frac{2t{{\left( t+3 \right)}^{2}}+8}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{3}}+12{{t}^{2}}+18t+8}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}=\frac{2{{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( t+4 \right)}{{{\left( t+3 \right)}^{2}}}\).
Thấy \({f}'\left( t \right)>0,\,\,\forall t\ge -1\) nên giá trị nhỏ nhất của \(f\left( t \right)\) trên \(\left[ -1;+\infty \right)\)là \(f\left( -1 \right)=1-\frac{8}{2}=-3\).
Vậy \(\min P=-3\) \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\z = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự, mỗi ông bắt tay với mọi người trừ vợ mình. Các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
A. \(78\).
B. \(185\).
C. \(234\).
D. \(312\).

Tổng các nghiệm của phương trình \({{\left( x-1 \right)}^{2}}{{.2}^{x}}=2x\left( {{x}^{2}}-1 \right)+4\left( {{2}^{x-1}}-{{x}^{2}} \right)\) bằng
A.4
B.5
C.2
D.3

Gọi S là tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;2\pi \right]\) của phương trình
\(\sin \left( 2x+\frac{9\pi }{2} \right)-3\cos \left( x-\frac{15\pi }{2} \right)=1+2\sin x\).
A.\(S=4\pi \).
B. \(S=2\pi \).
C. \(S=5\pi \).
D. \(S=3\pi \).

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\log x - \log y = 2\\x - 10y = 900\end{array} \right.\) có nghiệm là cặp số (x; y) nào sau đây?
A. \(\left( {100;1} \right)\)
B.\(\left( {1800;900} \right)\)
C.\(\left( {1000;10} \right)\)
D. \(\left( {10;1000} \right)\)

Hoà tan a gam hỗn hợp bột X gồm Fe và FeO bằng một lượng dung dịch HCl vừa đủ thấy thoát ra 1,12 lít khí (đktc). Dung dịch thu được cho tác dụng với dung dịch NaOH dư, lọc lấy kết tủa, rửa sạch rồi nung trong không khí đến khối lượng không đổi thu được 12g chất rắn. Hãy tính khối lượng a của hỗn hợp X.
A.10g
B.11g
C.12g
D.13g

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\{\log _2}x - {\log _2}y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm là:
A.\(\left( {16;4} \right)\)
B.\(\left( {5;20} \right)\)
C.\(\left( {20;5} \right)\)
D. \(\left( {1;4} \right)\)

Biết hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2} + {y^2}}} = 81\\{\log _2}x + 2{\log _4}y = 1\end{array} \right.\) có 1 nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Tính \(M = {x_0} - {y_0}\):
A.\(M = 1\)
B.\(M = 0\)
C.\(M = 2\)
D.\(M = -1\)

Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữa tỷ của biểu thức \(\sqrt[3]{{{a}^{5}}\sqrt[4]{a}}\) với \(a>0\).
A. \({{a}^{\frac{7}{4}}}\).
B. \({{a}^{\frac{1}{4}}}\).
C. \({{a}^{\frac{4}{7}}}\).
D. \({{a}^{\frac{1}{7}}}\).

Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,x \ge 0\\2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\, - 1 \le x < 0\\ - 3x - 5\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,x < - 1\,\end{array} \right.\)
A. Không có cực trị.
B. Có một điểm cực trị.
C. Có hai điểm cực trị.
D.Có ba điểm cực trị.

Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
A.\(P=\frac{73}{91}\).
B. \(P=\frac{18}{91}\).
C. \(P=\frac{8}{91}\).
D. \(P=\frac{18}{73}\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến