`f(x)=ax^2+bx+c`
Thay `x=0; x=1; x=-1; x=1/2` vào `f(x)` ta có:
`f(0)=c`
`f(1)=a+b+c` (1)
`f(-1)=a-b+c` (2)
`f(1/2)=1/4a+1/2b+c`
Do `f(0)` là số nguyên `-> c` nguyên (*)
Từ (1)(2)`-> f(1)+f(-1)=2a+2c`
Do `c` nguyên và `f(1);f(-1)` nguyên `->2 a` nguyên
Từ (1)(2)`-> f(1)-f(-1)=2b`
Do `f(1);f(-1)` nguyên `-> 2b` nguyên
Đặt `2a=x; 2b=y` (`x;y ∈Z`)
`-> a=x/2; b=y/2`
Do `f(1/2)` và c nguyên `-> a+2b` nguyên
Thay `a=x/2; b=y/2` vào `f(1/2)` ta có:
` 1/4. x/2+1/2. y/2`
`=1/8x+1/4y`
`=(x+2y)/8`
`-> x+2y` chẵn
Mà `2y` chẵn `-> x chẵn `-> x/2` nguyên `-> a` nguyên (**)
`(1) -> a+b` nguyên
`-> b` nguyên (***)
Theo (*)(**)(***)`-> đpcm`
