Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
P\left( x \right) = {x^4} + a\left( {{x^3} - x} \right) + b\left( {{x^2} - x} \right) + \left( {a + b + c} \right)x + d\\
P\left( x \right) = {x^4} + 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b + c} \right)x + d\,\,\left( 1 \right)
\end{array}$
Vì x(x + 1)(x – 1) chia hết cho 6; x(x – 1) chia hết cho 2 với mọi x nguyên.
Do đó P(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. Ta có thể chọn một trong các giá trị của x sau:
* Chọn x = 0 thì (1) trở thành P(0) = d. Vì P(0) nguyên nên d nguyên.
⇒${P_1}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b + c} \right)x\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ là số nguyên.
* Chọn x = 1 thì (2) trở thành: P1(1) = a + b + c, vì P(1) là 2 số nguyên nên a + b + c nguyên.
⇒ ${P_2}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$ là số nguyên.
* Chọn x = -1 thì (3) trở thành: P2(-1) = 2b là số nguyên.
⇒ ${P_3}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6}\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$ là số nguyên.
* Chọn x = 2 thì (4) trở thành P3(2) = 6a là số nguyên.
Ngược lại: giả sử 6a, 2b, a + b + c và d là các số nguyên thì (1) cũng là số nguyên với mọi x nguyên.
