`a)` $AM$ là đường kính của $(O)$ và `C\in (O)`
`=>\hat{ACM}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>∆ACM` vuông tại $C$
`=>\hat{MAC}+\hat{AMC}=90°` (hai góc phụ nhau)
$\\$
$\quad ∆ABD$ vuông tại $D$ (do $AD\perp BC$)
`=>\hat{BAD}+\hat{ABD}=90°` (hai góc phụ nhau)
Mà `\hat{AMC}=\hat{ABD}` (cùng chắn cung $AC$)
`=>\hat{BAD}=\hat{MAC}`$\\$
`b)` $AD; BE$ là đường cao của $∆ABC$
`=>AD`$\perp BC$ tại $D$
`=>\hat{ADB}=90°`
`\qquad BE`$\perp AC$ tại $E$
`=>\hat{AEB}=90°`
`=>\hat{ADB}=\hat{AEB}=90°`
`=>ABDE` có hai đỉnh kề nhau `D;E` cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc vuông
`=>ABDE` nội tiếp
$\\$
Vì `\hat{ACM}=90°` (câu a)
`=>MC`$\perp AC$
Mà `BE`$\perp AC$ ($BE$ là đường cao $∆ABC$)
`=>BE`//$MC$
$\\$
`c)` Xét $∆ABD$ và $∆AMC$ có:
`\qquad \hat{ABD}=\hat{AMC}` (cùng chắn cung $AC$)
`\qquad \hat{ADB}=\hat{ACM}=90°`
`=>∆ABD∽∆AMC` (g-g)
`=>{AB}/{AM}={BD}/{MC}`
`=>AB.MC=AM.BD` $(1)$
Ta có:
`\qquad \hat{ABM}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`\qquad `Xét $∆ABM$ và $∆ADC$ có:
`\qquad \hat{ABM}=\hat{ADC}=90°`
`\qquad \hat{AMB}=\hat{ACD}` (cùng chắn cung $AB$)
`=>∆ABM∽∆ADC` (g-g)
`=>{MB}/{CD}={AM}/{AC}`
`=>AC.MB=AM.CD` $(2)$
Từ `(1);(2)` suy ra:
`\qquad AB.MC+AC.MB`
`=AM.BD+AM.CD`
`=AM.(BD+CD)`
`=AM.BC`
Vậy `AB. MC + AC. MB = AM. BC`
