Giải thích các bước giải:
a.Xét $\Delta AHB, \Delta AHC$ có:
Chung $AH$
$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$
$AB=AC$
$\to \Delta AHB=\Delta AHC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
b.Từ câu a $\to \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$
Mà $DH//AC\to \widehat{DAH}=\widehat{BAH}=\widehat{HAC}=\widehat{AHD}$
$\to \Delta ADH$ cân tại $D\to DA=DH$
c.Ta có $DH//AB\to \widehat{DHB}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{DBH}\to \Delta HBD$ cân tại $D$
$\to DB=DH\to DA=DH=DB$
$\to D$ là trung điểm $BA$
Từ câu a $\to HB=HC\to H$ là trung điểm $BC$
Mà $AH\cap CD=G\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$
Do $E$ là trung điểm $AC\to B, G, E$ thẳng hàng
d.Ta có $\Delta ABH$ vuông tại $H, E$ là trung điểm $AC\to EA=EC=EH$
Ta có:
$AH+3BG=AH+\dfrac32BG+\dfrac32BG=AH+BE+BE=AH+BE+CD$
Trên tia đối của tia $HA$ lấy điểm $M$ sao cho $HA=HM$
Xét $\Delta AHB,\Delta CHM$ có:
$HA=HM$
$\widehat{AHB}=\widehat{CHM}$
$HB=HC$
$\to \Delta AHB=\Delta MHC(c.g.c)$
$\to CM=AB$
$\to AM<AC+CM\to 2AH<AC+AB\to AH<\dfrac12(AB+AC)$
Tương tự chứng minh được $BE<\dfrac12(BA+BC), CD<\dfrac12(CA+CB)$
Cộng vế với vế
$\to AH+BE+CD<AB+AC+BC$
$\to AH+3BG<AB+AC+BC$
$\to đpcm$
