`\text{a)}`
Xét `\Delta ABD` và `\Delta ACD` có :
`AB =AC ` ( `\Delta ABC` cân tại `A` )
`\hat{BAD} = \hat{CAD}` ( `AD` là tia phân giác `\hat{BAC}` )
`AD` _ cạnh chung
`=> \Delta ABD = \Delta ACD ( \text{c . g . c} )`
$\\$
`\text{b)}`
Ta có : ` \Delta ABD = \Delta ACD` (cmt)
`=> \hat{ADB} = \hat{ADC}` ( `2` góc tương ứng )
Mà `\hat{ADB} + \hat{ADC} =180^o` ( `2` góc kề bù )
`=> \hat{ADB} + \hat{ADB} = 180^o`
`=> 2\hat{ADB} = 180^o`
`=> \hat{ADB} = 180^o/2 =90^o`
`=> AD ⊥ BC`
`=> AD` là đường cao xuất phát từ `A`
Theo đề bài : Đường cao `BE` cắt `AD` tại `H`
`=> H` là trực tâm của `\Delta ABC`
`=>` Đường cao thứ `3` xuất phát từ `C` sẽ đi qua `H`
`=> CH ⊥ AB`
$\\$
`\text{c)}`
Ta có :
`AH` là tia phân giác của `\hat{BAC}`
Tức : `H \in` trên tia phân giác của `\hat{BAC}`
Và : `HF ⊥ AB = {F}`
`HE ⊥ AC = {E}`
`=> HF = HE` ( Theo định lý thuận về tính chất tia phân giác của `1` góc )
Xét `\Delta HFB` vuông tại `F` và `\Delta HEC` vuông tại `E` có :
`HF = HE` ( cmt)
`\hat{FHB} = \hat{EHC}` ( `2` góc đối đỉnh )
`=> \Delta HFB = \Delta HEC` ( cạnh góc vuông - góc nhọn kề cạnh ấy )
`=> FB = EC` ( `2` cạnh tương ứng )
Mà `AB =AC ` ( `\Delta ABC` cân tại `A` )
`=> AB - FB = AC - EC`
`=> AF = AE`
`=> \Delta AEF` cân tại `A`
Xét ` \Delta AEF` cân tại `A` có :
`AD` là tia phân giác của `\hat{FAE}` ứng với cạnh `EF`
`-> AD` đồng thời là đường trung trực xuất phát từ `A` ứng với cạnh `EF`
$\\$
`\text{d)}`
Xét `\Delta FBC` vuông tại `F` có :
`\hat{FBC} + \hat{FCB} =90^o`
Xét `\Delta EBC` vuông tại `E` có :
`\hat{EBC} + \hat{ECB} = 90^o`
`=> \hat{FBC} + \hat{FCB} = \hat{EBC} + \hat{ECB} `
Mà `\hat{FBC} = \hat{ECB}` ( `\Delta ABC` cân tại `A` )
`=> \hat{FCB} = \hat{EBC}` `(1)`
Mà $FC // MB$
`=> \hat{FCB} = \hat{CBM} ` ( `2` góc so le trong ) `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`=> \hat{EBC} = \hat{CBM}`
`=> BE` là tia phân giác của góc `B`
Mà `BE` cắt `AD` tại `H`
`=> H` là giao điểm của phân giác
`=>` Đường phân giác thứ `3` xuất phát từ `C` sẽ đi qua `H`
Hay `CH` là đường phân giác của `\hat{BCA}`
`=> \hat{HCB} = \hat{ACH}`
Do $FC // MB$
`=> \hat{ ACH} = \hat{CMB}` ( `2` góc đồng vị )
`=> \hat{CMB} = \hat{HCB} ( = \hat{ACH} )`
Mà `\hat{HCB} = \hat{HBC}` ( cmt )
`=> \hat{HBC} = \hat{CMB}`
Lại có : `\hat{HBC} = \hat{CBM}` ( cmt )
`=> \hat{CMB} = \hat{CBM} ( \hat{HBC} )`
`=> \Delta CMB` cân tại `C`
`=> CB = CM`
Xét `\Delta BCE` vuông tại `E` có :
`CB > CE ` ( Trong `\Delta` vuông : Cạnh huyền là cạnh lớn nhất )
Mà `CB = CM => CM > CE`
