Đáp án:
$\\$
`a,`
Có : `CM` là đường trung tuyến
`-> M` là trung điểm của `AB`
Xét `ΔAMD` và `ΔBMC` có :
`hat{AMD} = hat{BMC}` (2 góc đối đỉnh)
`MD = MC` (giả thiết)
`AM = BM` (Do `M` là trung điểm của `AB`)
`-> ΔAMD = ΔBMC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AD = BC` (2 cạnh tương ứng)
Do `ΔAMD = ΔBMC` (chứng minh trên)
`-> hat{MDA} = hat{MCB}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ AD//BC$
$\\$
$\\$
$b,$
Có : `MD = MC` (giả thiết)
`-> M` là trung điểm của `DC`
`-> CM = 1/2 DC`
`-> DC = 2 CM`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔADC` CÓ :
`AD + AC > DC`
mà `AD = BC` (chứng minh trên), `DC = 2 CM` (chứng minh trên)
`-> AC + BC > 2CM`
$\\$
$\\$
`c,`
Có : `M` là trung điểm của `DC`
`-> AM` là đường trung tuyến của `ΔADC`
Có : `AK = 2KM`
`-> (AK)/(KM) = 2/1`
`-> (KM)/(AK) = 1/2`
Xét `ΔADC` có :
`AM` là đường trung tuyến của `ΔADC`
`(KM)/(AK) = 1/2`
`-> K` là trọng tâm của `ΔADC`
mà `CK` cắt `AD` tại `N`
`-> CN` là đường trung tuyến của `ΔADC`
`-> N` là trung điểm của `AD`
$\\$
$\\$
$d,$
Có : `N` là trung điểm của `AD`
`-> BN` là đường trung tuyến của `ΔABD`
Có : `M` là trung điểm của `AB`
`-> DM` là đường trung tuyến của `ΔABD`
Xét `ΔABD` có :
`BN` là đường trung tuyến
`DM` là đường trung tuyến
`BN` cắt `DM` tại `I`
`-> I` là trọng tâm của `ΔABD`
Có : `DM` là đường trung tuyến của `ΔABD`
`-> MI = 1/3 DM`
Do `M` là trung điểm của `DC`
`-> DM = 1/2DC`
Thay vào `MI = 1/3DM` ta được :
`-> MI = 1/3 . 1/2 DC`
`-> MI = 1/6DC`
`-> DC = 6MI`
`-> (CD)/(MI) = 6`
