`a)` Xét tứ giác `ACBD` có:
$\hat{EAF}=\hat{ACB}=\hat{CBD}=90^0(gt)$
`⇒` tứ giác `ACBD` là hình chữ nhật $(dpcm).$
Vậy tứ giác `ACBD` là hình chữ nhật $(dpcm).$
`b)` Gọi `O` là giao điểm của `AB` và `CD`.
Theo câu `a)` thì tứ giác `ACBD` là hình chữ nhật $⇒AC//BD,AC=BD.$
`⇒\hat{CAO}=\hat{OBD},` lại có `\hat{ACO}=\hat{OBD}, AC=BD` (vì là hai góc so le trong)
`⇒∆OAC=∆OBD(g-c-g)`
`⇒\hat{OAC}=\hat{OBD}` $(1)$
Mà theo tính chất của hình chữ nhật, đường chéo của hình chữ nhật chia tứ giác làm `4` tam giác cân. `⇒\hat{OAC}=\hat{OCA}` $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ `⇒\hat{OBD}=\hat{OCA}.`
Ta xét `∆ABD` có: `\hat{BAD}+\hat{ADB}+\hat{DBA}=180^0`
Thay số: `\hat{BAD}+90^0+\hat{DBA}=180^0`
`⇒\hat{BAD}+\hat{DBA}=180^0-90^0=90^0`
Lại có: `\hat{ABF}+\hat{BFA}+\hat{FAB}=180^0`
Thay số: `\hat{FAB}+90^0+\hat{BFA}=180^0`
`⇒\hat{FAB}+\hat{BFA}=180^0-90^0=90^0`
`⇒\hat{FAB}+\hat{BFA}=\hat{BAD}+\hat{DBA}`
`⇒\hat{BFA}=\hat{DBA}`
`⇒\hat{BFA}=\hat{OCA}`
Lại có: `\hat{EAF}` chung.
`⇒ ∆ACD ∽ ∆AFE (g-g)`
Xét `∆ECB` và `∆EAF`
`\hat{ECB}=\hat{EAF}=90^0`$(gt)$
`\hat{AEF}` chung
`⇒ ∆ECB ∽ ∆EAF (g-g)`
Từ các chứng minh trên ta suy ra `∆ACD∽ ∆CBE (∽ ∆AFE).`
Vậy `∆ACD∽ ∆CBE.`
Hình tham khảo.
