Xét (O) có:
$\widehat{ABN}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BN}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây cung BN)
$\widehat{NCB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BN}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{NB}$)
⇒ $\widehat{ABN}=\widehat{NCB}$ Hay $\widehat{MBN}=\widehat{MCB}$
Xét ΔMBN và ΔMCB có:
$\widehat{MBN}=\widehat{MCB}$ (cmt)
$\widehat{CMB}$: góc chung
⇒ ΔMBN ~ ΔMCB (g.g)
⇒ $\frac{MB}{MC}=\frac{MN}{MB}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ MB² = MN.MC
Mà MA = MB (M là trung điểm của AB)
⇒ MA² = MN.MC
⇒ $\frac{MN}{MA}=\frac{MA}{MC}$
Xét ΔMNA và ΔMAC có:
$\frac{MN}{MA}=\frac{MA}{MC}$ (cmt)
$\widehat{AMC}$: góc chung
⇒ ΔMNA ~ ΔMAC (c.g.c)
⇒ $\widehat{MAN}=\widehat{MCA}$ (hai góc tương ứng)
Hay $\widehat{MAD}=\widehat{ACN}$ (1)
Xét (O) có:
$\widehat{ACN}=\frac{1}{2}sđ\overparen{CN}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây cung CN)
$\widehat{NDC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{CN}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{CN}$)
⇒ $\widehat{ACN}=\widehat{NDC}$ Hay $\widehat{ACN}=\widehat{ADC}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{MAD}=\widehat{ADC}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong do AD cắt AM và CD
⇒ AM // CD Hay AB // CD
