Đáp án:

Giải thích các bước giải: ĐKXĐ.... \[\begin{array}{l} \left( C \right):y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\\ d:y = 2x + m \end{array}\] Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là \[\begin{array}{l} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m\\ \Leftrightarrow x + 1 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 = 2{x^2} - 2x + mx - m\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0 \end{array}\] (C) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt \[\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} + 8\left( {m + 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 17 > 0 \end{array}\] Bất pt trên luôn có nghiệm nên (C) luôn cắt d tại 2 điểm phân biệt gọi 2 nghiệm của pt trên là x1, x2 thì \[\left\{ \begin{array}{l} x{{\kern 1pt} _1} + {x_2} = \frac{{3 - m}}{2}\\ {x_1}.{x_2} = - \frac{{m + 1}}{2} \end{array} \right.\] \[\begin{array}{l} A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right);B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right)}^2}} = \sqrt 5 .\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \end{array}\] lại có: \[\begin{array}{l} AB = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} = 2 \end{array}\] Thay vào tính được m