Xét $∆ABD$ và $∆EBD$ có:
`\qquad \hat{BAD}=\hat{BED}=90°`
`\qquad BD` là cạnh chung
`\qquad \hat{ABD}=\hat{EBD}` (do $BD$ là phân giác `\hat{ABC}`)
`=>∆ABD=∆EBD` (cạnh huyền - góc nhọn)
`=>AB=EB` (hai cạnh tương ứng) $(1)$
$\\$
Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và đường thẳng qua $E$ song song với $BD$
`=>\hat{EBD}=\hat{BE F}` (hai góc so le trong)
`\qquad \hat{ABD}=\hat{BFE}` (hai góc đồng vị)
Mà `\hat{EBD}=\hat{ABD}` (do $BD$ là phân giác của `\hat{ABC}`)
`=>\hat{BEF}=\hat{BFE}`
`=>∆BEF` cân tại $B$
`=>FB=EB` $(2)$
Từ `(1);(2)=>AB=FB`
Vì `A; B;F` thẳng hàng
`=>B` là trung điểm $AF$
Vì $A;B$ cố định nên $F$ cố định
Vậy đường thẳng đi qua $E$ và song song với $BD$ luôn đi qua điểm $F$ cố định