`a)` Xét $∆OBD$ và $∆OAI$ có:
`\qquad \hat{OBD}=\hat{OAI}=90°`
`\qquad OB=OA` (vì $O$ là trung điểm $AB$)
`\qquad \hat{BOD}=\hat{AOI}` (hai góc đối đỉnh)
`=>∆OBD=∆OAI` (g-c-g)
`=>OD=OI` (đpcm)
$\\$
`b)` Vì $OD=OI$ (c/m trên)
`\qquad ` $D;O;I$ thẳng hàng
`=>O` là trung điểm $DI$
`=>CO` là trung tuyến $∆CDI$
Mà `\hat{COD}=90°=>CO`$\perp DI$ tại $O$
`=>CO` vừa là đường trung tuyến và đường cao $∆CDI$
`=>∆CDI` cân tại $C$
`=>CD=CI`
Ta có:
`\qquad ``CI=AC+AI`
`=>CD=AC+AI` $(1)$
Vì $∆OBD=∆OAI$ (câu a)
`=> BD=AI` $(2)$
Từ `(1);(2)=>CD=AC+BD` (đpcm)
$\\$
`c)` Vẽ $OE\perp CD$ tại $E$
Vì $CO$ là đường cao $∆CDI$ cân tại $C$
`=>CO` cũng là đường phân giác `\hat{ICD}`
`=>\hat{ACO}=\hat{ECO}`
$\\$
Xét $∆ACO$ và $∆ECO$ có:
`\qquad \hat{CAO}=\hat{CEO}=90°`
`\qquad OC` là cạnh chung
`\qquad \hat{ACO}=\hat{ECO}` (c/m trên)
`=>∆ACO=∆ECO` (cạnh huyền -góc nhọn)
`=>OA=OE`
Vì `O` là trung điểm $AB$ (gt)
`=>O` là tâm đường tròn đường kính `AB` với bán kính `R=1/2AB=OA=OE`
Vì $OE\perp CD$ tại $E$ (cách vẽ) và `OE=R=1/2AB`
`=>CD` là tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn đường kính $AB$ (đpcm)
