Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
+ Viết PTTQ của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;\,\,0} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( { - 3;\,\,1} \right)\) là VTPT.
+ Xác định tọa độ \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \)
+ Chứng minh \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(M\).Giải chi tiết:\(A\left( {1;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2;\,\,3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;\,\,3} \right) \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( { - 3;\,\,1} \right)\)
PTTQ của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;\,\,0} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( { - 3;\,\,1} \right)\) là VTPT.
\(\Delta :\,\, - 3.\left( {x - 1} \right) + 1.\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 3x + 3 + y = 0 \Leftrightarrow - 3x + y + 3 = 0\)
Vì \(\frac{{ - 3}}{2} \ne \frac{1}{3}\) nên \(d\) cắt \(\Delta \) và \( - 3.2 + 1.3 = - 3 \ne 0\) nên \(d\) không vuông góc với .
Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\Delta \) là nghiệm của hệ phương trình:
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 = 0\\ - 3x + y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 1\\ - 3x + y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{{11}}\\y = - \frac{3}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{10}}{{11}};\,\, - \frac{3}{{11}}} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {\frac{1}{{11}};\,\,\frac{3}{{11}}} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {\frac{{12}}{{11}};\,\,\frac{{36}}{{11}}} \right)\)
\( \Rightarrow 12\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA} \)
Suy ra, \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(M\).
Do đó, \(AB\) không cắt đường thẳng \(d\).
Chọn D.