$\text{a) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có }$
$\text{+) DA=DC}$
$\text{+) CE=EB}$
$\text{Nên DE=DC+CE=AD+BE (DPCM)}$
$\text{b)Vì DA=DC nên D thuộc trung trực AC (1)}$
$\text{Mặt khác CO=AO nên O thuộc trung trực của AC (2)}$
$\text{Nên (1);(2) ⇒DO là trung trực của AC (dpcm)}$
$\text{Mặt khác DO là trung trực của AC}$
$\text{⇒DO vuông góc với AC (3)}$
$\text{Mặt khác Xét (O) có A,C,B cùng thuộc 1 đường tròn}$
$\text{⇒∠ACB =90 (cung chắn nửa đường tròn)}$
$\text{⇒AC vuông góc với CB (4)}$
$\text{Từ (3);(4)⇒OD//BC (dpcm) }$
$\text{c)Vì OD∩AC=I nên ∠DIA=90 (cmb)}$
$\text{Vì Do là trung trực của AC nên I là trung điểm AC}$
$\text{⇒2.AI=AC}$
$\text{⇔2.AI=4,8}$
$\text{⇔AI=IC=2,4}$
$\text{ÁP dụng định lý Pytago vào ΔAIO}$
$\text{AI²+IO²=AO²}$
$\text{⇔2.4²+IO²=4²}$
$\text{⇔IO²=4²-2,4²=10,24}$
$\text{⇒IO=3,2}$
$\text{Áp dụng hệ thức lượng vào ΔADO,có}$
$\text{AI²=ID.IO}$
$\text{⇔(2,4)²=ID.3,2}$
$\text{⇒ID=1,8}$
$\text{Áp dụng định lý Pytago vào tam giác DIC có}$
$\text{DC²=DI²+IC²=(1.8)²+(2.4)²=9}$
$\text{⇒DC=3 (cm)}$
$\text{d)VÌ Ax//By nên $\frac{KA}{KE}$ =$\frac{AD}{EB}$ (1)}$
$\text{Mặt khác EB=CE và AD=AC (2)}$
$\text{Từ (1);(2)⇒$\frac{KA}{KE}$ =$\frac{DC}{CE}$ }$
$\text{⇒CK//DA}$
$\text{VÌ AB=2R nên AB là bán kính của đường tròn}$
$\text{⇒DA vuông góc với AB}$
$\text{Nên CK vuông góc với AB}$
$\text{Mặt khác $\frac{HK}{DA}$ =$\frac{BK}{BD}$ (Ta lét)}$
$\text{Tương tự $\frac{CK}{DA}$ =$\frac{EK}{EA}$}$
$\text{MÀ $\frac{BK}{BD}$==$\frac{EK}{EA}$ (ta lét)}$
$\text{Suy ra $\frac{HK}{DA}$=$\frac{CK}{DA}$ }$
$\text{Nên HK=CK Hay K là trung điểm CH }$
