a) Ta có: $\widehat{ADB} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$AI = IO = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{R}{2}\quad (gt)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AD^2 = AI.AB = \dfrac{R}{2}\cdot 2R = R^2$
$DB^2 = IB.AB = \left(R + \dfrac{R}{2}\right)\cdot 2R = 3R^2$
b) Ta có:
$OA\perp DE$
$\Rightarrow OA$ là trung trực của $DE$ (định lý đường kính - dây cung)
$M\in OA$
$\Rightarrow MD = ME$
Xét $ΔMOD$ và $ΔMOE$ có:
$MD= ME\quad (cmt)$
$OD = OE = R$
$OM:$ cạnh chung
Do đó $ΔMOD = ΔMOE\, (c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{MEO} = \widehat{MDO} = 90^o$
$\Rightarrow OE\perp ME$
$\Rightarrow ME$ là tiếp tuyến của $(O)$
c) Xét $ΔMAD$ và $ΔMDB$ có:
$\widehat{M}:$ góc chung
$\widehat{ADM} = \widehat{DBM} = \dfrac12sđ\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$
Do đó $ΔMAD \sim ΔMDB\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{MA}{MD} = \dfrac{MD}{MB}$
$\Rightarrow MA.MB = MD^2$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔMDO$ vuông tại $D$ đường cao $DI$ ta có:
$MI.MO = MD^2$
Do đó: $MA.MB = MI.MO\qquad (=MD^2)$
