`1)` Ta có:
`\hat{AKB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>AK`$\perp BK$`=>AK`$\perp BE$
$AE$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$
`=>∆AOE` vuông tại $A$
`=>AE^2=EK.EB` $(1)$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\\$
`2)` $AE$ và $DE$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $E$ của $(O)$
`=>AE=DE`
Mà $OA=OD$(=bán kính của $(O)$)
`=>OE` là đường trung trực của $AD$
`=>OE`$\perp AD$ tại trung điểm $H$ của $AD$
`=>DH`$\perp OE$
$∆ODE$ vuông tại $D$ có đường cao $DH$
`=>DE^2=EH.EO` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà `AE=DE=>AE^2=EH.EO` $(2)$
Từ `(1);(2)=>EK.EB=EH.EO`
`=>{EH}/{EB}={EK}/{EO}`
Xét $∆EHK$ và $∆EBO$ có:
`\hat{E}` chung
`{EH}/{EB}={EK}/{EO}`
`=>∆EHK∽∆EBO(c-g-c)`
`=>\hat{EHK}=\hat{EBO}`
`=>\hat{EHK}=\hat{KBO}`
`=>` Tứ giác $BOHK$ nội tiếp.
Vậy $4$ điểm $B, O, H, K$ cùng thuộc một đường tròn (đpcm)
$\\$
`3)` $AE;DE$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $E$
`=>OE` là phân giác `\hat{AOD}`
`=>\hat{AOE}=\hat{DOE}` $(3)$
Ta có:
`\qquad \hat{AOM}=90°`
`<=>\hat{AOE}+\hat{MOE}=90°` $(4)$
$∆ODE$ vuông tại $D$
`=>\hat{DOE}+\hat{MEO}=90°` $(5)$
Từ `(3);(4);(5)=>\hat{MOE}=\hat{MEO}`
`=>∆OEM` cân tại $M$
`=>OM=EM`
$∆OCM$ vuông tại $O$ đường cao $OD$
`=>OM^2=DM.CM` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
`=>EM^2=DM.CM`
`=>{EM}/{CM}={DM}/{EM}`
Ta có:
`{AE}/{EM}-{EM}/{CM}={DE}/{EM}-{DM}/{EM}={EM+DM}/{EM}-{DM}/{EM}={EM}/{EM}+{DM}/{EM}-{DM}/{EM}=1`
Vậy `{AE}/{EM}-{EM}/{CM}=1` (đpcm)
