Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp MB$

Mà $KD\perp AB$

$\to \widehat{CHB}=\widehat{CMB}=90^o$

$\to C,H,B,M\in$ đường tròn đường kính $CB$

2.Ta có $AB\perp CK$

$\to AB$ là trung trực của $KD$

$\to AK=AD$

$\to \widehat{AKC}=\widehat{AKD}=\widehat{KMA}$

Mà $\widehat{KAC}=\widehat{KAM}$

$\to \Delta AKC\sim\Delta AMK(g.g)$

$\to\dfrac{AK}{AM}=\dfrac{AC}{AK}$

$\to AK^2=AC.AM$

3.Ta có $H$ là trung điểm $AO$
$\to HA=HO=\dfrac12AO=\dfrac12R$

$\to KH=\sqrt{KO^2-OH^2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

Vì $C$ là trung điểm $KH$

$\to CH=HK=\dfrac{R\sqrt{3}}{4}$

$\to AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{(\dfrac12R)^2+(\dfrac{R\sqrt{3}}{4})^2}=\dfrac{R\sqrt{7}}{4}$

Mà $\widehat{AHC}=\widehat{AMB}=90^o,\widehat{CAH}=\widehat{MAB}$

$\to\Delta ACH\sim\Delta ABM(g.g)$

$\to\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AH}{AM}$

$\to AC.AM=AH.AB$

$\to AM=\dfrac{AH.AB}{AC}=\dfrac{\dfrac12R\cdot 2R}{\dfrac{R\sqrt{7}}{4}}=\dfrac{4\sqrt{7}R}{7}$

$\to CM=AM-AC=\dfrac{4\sqrt{7}R}{7}-\dfrac{R\sqrt{7}}{4}=\dfrac{9\sqrt{7}R}{28}$

Ta có:

$\widehat{ECM}=\widehat{ACH}$

$\widehat{EMC}=\widehat{CHA}(=90^o)$

$\to\Delta EMC\sim\Delta AHC(g.g)$

$\to \dfrac{EC}{AC}=\dfrac{MC}{HC}$

$\to EC=\dfrac{AC.MC}{HC}=\dfrac{3\sqrt{3}R}{4}$

4.Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACE, CB\cap AE=G$

Trên tia đối của tia $AB$ lấy $F$ sao cho $AF=AO=OB$

$\to HF=HA+AF=HO+OB=HB$

$\to H$ là trung điểm $BF$

Mà $ED\perp AB=H\to  ED$ là trung trực của $FB$

Do $C\in ED\to CF=CB$

$\to \widehat{CFA}=\widehat{CFB}=\widehat{CBF}=\widehat{CBH}=90^o-\widehat{GAB}=90^o-\widehat{EAH}=\widehat{AEH}$

$\to \widehat{CFA}=\widehat{AEC}$

$\to ECAF$ nội tiếp

$\to F\in (I)$

Mà $A\in (I)$

$\to IA=IF$

$\to I$ di chuyển trên trung trực của $FA$ cố định