a) Ta có:
$AB;\, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B;\, C\quad (gt)$
$\to AB =AC$
Lại có: $OB = OC = R$
$\to OA$ là trung trực của $BC$
$\to OA\perp BC;\, IB = IC =\dfrac12BC$
Mặt khác:
$\widehat{BCD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\to CD\perp BC$
$\to OA//CD\quad (\perp BC)$
b) Xét $∆IOB$ và $∆IKO$ có:
$\widehat{BIO}=\widehat{OIK}=90^\circ$
$\widehat{IOB}=\widehat{IKO}$ (cùng phụ $\widehat{IOK}$)
Do đó $∆IOB\sim ∆IKO\, (g.g)$
$\to \dfrac{IO}{IK}=\dfrac{IB}{IO}$
$\to IO^2 = IK.IB$
mà $IB = IC =\dfrac12BC$ (câu a)
nên $IO^2 = IK.IC\qquad (1)$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆OAB$ vuông tại $B$ đường cao $BI$ ta được:
$IO.IA = IB^2\qquad (2)$
Ap dụng định lý Pytago vào $∆OBI$ vuông tại $I$ ta được:
$OB^2 = R^2 = OI^2 + IB^2\qquad (3)$
$(1)(2)(3)\to IK.IC + IO.IA = R^2$