Giải thích các bước giải:
1.Vì $CD$ là đường kính của (O)
$\to CM\perp DM$
Mà $CD\perp AB=K$
$\to\widehat{CMF}=\widehat{DKF}=90^o$
$\to\Diamond CKFM$ nội tiếp
2.Ta có $\widehat{DKF}=\widehat{FME}=90^o$
$\to KMED$ nội tiếp
$\to\widehat{KDF}=\widehat{FEM}$
$\to\widehat{KDF}=\widehat{CEK}$
Mà $\widehat{CKE}=\widehat{DKF}=90^o$
$\to\Delta CKE\sim\Delta FKD(g.g)$
$\to\dfrac{KC}{KF}=\dfrac{KE}{KD}$
$\to KE.KF=KC.KD$
3.Ta có $MI$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$
$\to\widehat{IMF}=\widehat{IMD}=\widehat{DCM}=\widehat{ECK}=\widehat{MFI}$
$\to \widehat{IMF}=\widehat{IFM}\to IM=IF$
Mặt khác:
$\widehat{IMF}=\widehat{IFM}$
$\to 90^o-\widehat{IMF}=90^o-\widehat{IFM}$
$\to\widehat{IME}=\widehat{IEM}$
$\to IM=IE$
$\to IE=IF$
4.Ta có:
$\widehat{FKD}=\widehat{FME}=90^o,\widehat{KFD}=\widehat{MFE}$
$\to\Delta FKD\sim\Delta FME(g.g)$
$\to\dfrac{FK}{FM}=\dfrac{FD}{FE}\to FK.FE=FD.FM$
Lại có: $\widehat{FAD}=\widehat{BAD}=\widehat{DMB}=\widehat{FMB}$
$\widehat{AFD}=\widehat{MFB}$
$\to\Delta FAD\sim\Delta FMB(g.g)$
$\to\dfrac{FA}{FM}=\dfrac{FD}{FB}$
$\to FA.FB=FD.FM$
$\to FA.FB=FK.FE$
$\to\dfrac{FB}{KF}=\dfrac{EF}{AF}=\dfrac{EF-FB}{AF-KF}=\dfrac{EB}{KA}$
$\to\dfrac{FB}{EB}=\dfrac{KF}{KA}$
