a)
$AB,AC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$
$\to\begin{cases}AB\bot OB\\AC\bot OC\end{cases}$
$H$ là trung điểm dây cung $DE$
$\to OH\bot DE$
$\Delta ABO\,\,,\,\,\Delta ACO\,\,,\,\,\Delta AHO$ lần lượt vuông tại $B,C,H$
$\to\begin{cases}A,B,O \text{ cùng thuộc một đường tròn đường kính là cạnh AO }\\A,C,O \text{ cùng thuộc một đường tròn đường kính là cạnh AO }\\A,H,O \text{ cùng thuộc một đường tròn đường kính là cạnh AO }\end{cases}$
$\to A,B,C,H,O \text{ cùng thuộc một đường tròn đường kính là cạnh AO }$
b)
$AB=AC$ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
$\to \Delta ABC$ cân tại $A$
$\to \widehat{ACB}=\widehat{ABC}$
Vì $A,B,H,O,C$ cùng thuộc một đường tròn
$\to ABHO$ là tứ giác nội tiếp
$\to\begin{cases}\widehat{AHB}=\widehat{ACB}\\\widehat{AHC}=\widehat{ABC}\end{cases}$
Mà: $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\,\,\,\left( cmt \right)$
Nên: $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\,\,\,\left( =\widehat{ACB}=\widehat{ABC} \right)$
$\to HA$ là tia phân giác $\widehat{BHC}$
c)
Xét $\Delta ABI$ và $\Delta AHB$, ta có:
$\widehat{BAH}$ là góc chung
$\widehat{ABC}=\widehat{AHB}\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta ABI\backsim\Delta AHB\,\,\,\left( g.g \right)$
$\to \dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AI}{AB}$
$\to A{{B}^{2}}=AI.AH$
d)
Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{ABC}\,\,\,\left( cmt \right)$
Mà: $\widehat{ABC}=\widehat{BKC}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )
Nên: $\widehat{AHB}=\widehat{BKC}$
Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị
Vậy $AE\,\,||\,\,CK$
