`a)` $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$
`=>AB`$\perp OB$
`=>\hat{ABO}=90°`
$\quad AC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$
`=>AC`$\perp OC$
`=>\hat{ACO}=90°`
`=>\hat{ABO}+\hat{ACO}=180°`
`=>ABOC` nội tiếp (vì có tổng hai góc đối `180°`)
`=>A;B;O;C` cùng thuộc $1$ đường tròn $(1)$
$\\$
`\qquad H` là trung điểm $DE$ (gt)
`=> OH`$\perp DE$ tại $H$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>\hat{AHO}=90°`
`=>\hat{ABO}=\hat{AHO}=90°`
`=>ABHO` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau $B;H$ cùng nhìn cạnh $OA$ dưới góc vuông)
`=>A;B;H;O` cùng thuộc $1$ đường tròn $(2)$
Từ `(1);(2)=>A;B;C;H;O` cùng thuộc $1$ đường tròn
$\\$
`b)` $A;B;C;H;O$ cùng thuộc $1$ đường tròn
`=>ABHC` nội tiếp
`=>\hat{AHC}=\hat{ABC}` (cùng chắn cung $AC$)
`\qquad \hat{AHB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)
$\\$
Mà `\hat{ABC}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $BC$ của $(O)$)
`=>\hat{AHC}=\hat{AHB}`
Vì tia $HA$ nằm giữa hai tia $HB;HC$
`=> HA` là tia phân giác của `\hat{BHC}`
$\\$
`c)` Ta có: `\hat{ABC}=\hat{AHC}=\hat{AHB}` (từ câu b)
`=>\hat{ABI}=\hat{AHB}`
$\\$
Xét $∆ABI$ và $∆AHB$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{ABI}=\hat{AHB}` (c/m trên)
`=>∆ABI∽∆AHB` (g-g)
`=>{AB}/{AH}={AI}/{AB}`
`=>AB^2=AI.AH`
$\\$
`d)` Ta có: `\hat{AHB}=\hat{ACB}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BC}` (đã c/m)
`\hat{BKC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BC}` (góc nội tiếp chắn cung $BC$)
`=>\hat{AHB}=\hat{BKC}`
Mà `\hat{AHB};\hat{BKC}` ở vị trí đồng vị
`=>AE`//$CK$
