Giải thích các bước giải:
a.Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$
$\to BCEF$ nội tiếp
$\to \widehat{AEF}=\widehat{ABC},\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$
$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$
b.Gọ $AK$ là đường kính của $(O)\to BK\perp AB, CK\perp AC$
$\to BK//CH, CK//BH$
$\to BHCK$ là hình bình hành
$\to HK\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường
Mà $A'$ là trung điểm $BC$
$\to A'$ là trung điểm $HK$
Lại có $O$ là trung điểm $KA\to OA'$ là đường trung bình $\Delta AHK$
$\to AH=2OA'$
c. Ta có $\Delta AEF\sim\Delta ABC, A_1, A'$ là trung điểm $EF, BC$
$\to \Delta AA_1E\sim\Delta AA'B$
$\to \dfrac{AA_1}{AA'}=\dfrac{AE}{AB}=\cos\widehat{BAE}=\cos\widehat{BAC}=\cos\dfrac12\widehat{BOC}=\cos\widehat{BOA'}=\dfrac{OA'}{OB}=\dfrac{OA'}{R}$
$\to R.AA_1=AA'.OA'$
d.Gọi $Ad$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$
$\to \widehat{dAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$
$\to Ad//EF$
Mà $OA\perp Ad\to OA\perp EF$
$\to S_{AFOE}=\dfrac12OA.EF=\dfrac12REF$
Tương tự $S_{OFBD}=\dfrac12OB.FD=\dfrac12RFD$
$S_{ODCE}=\dfrac12OC.ED=\dfrac12RED$
$\to S_{ABC}=S_{AFOE}+S_{OFBD}+S_{ODCE}=\dfrac12R(EF+FD+DE)$
$\to R(EF+FD+DE)=2S_{ABC}$
$\to$Để diện tích $\Delta ABC$ lớn nhất
$\to \dfrac12AD\cdot BC$ lớn nhất
$\to AD$ lớn nhất
Mà $AD\le AA'\le AO+OA'=R+OA'$
$\to$Dấu = xảy ra khi $D\equiv A'\to A$ nằm giữa cung $BC$
