Giải thích các bước giải:
1.Ta có $M$ nằm chính giữa cung $AB\to MA=MB$
$\to\widehat{ANM}=\widehat{MCB}$
$\to\widehat{INK}=\widehat{ICK}$
$\to CNKI$ nội tiếp
$\to C, N, K, I$ cùng thuộc một đường tròn
2.Ta có $N$ nằm chính giữa cung $BC\to NB=NC$
$\to \widehat{NBC}=\widehat{BMN}$
$\to\widehat{NBK}=\widehat{BMN}$
Mà $\widehat{BNK}=\widehat{BNM}$
$\to \Delta NBK\sim\Delta NMB(g.g)$
$\to \dfrac{NB}{NM}=\dfrac{NK}{NB}$
$\to NB^2=NK.NM$
3.Ta có $CIKN$ nội tiếp
$\to\widehat{KIN}=\widehat{KCN}=\widehat{BCN}=\widehat{BAN}$
$\to KI//AB$
$\to KI//BH$
Tương tự chứng minh được $IH//BC\to IH//BK$
$\to BHIK$ là hình bình hành
Mà $\widehat{BHK}=\widehat{HBM}+\widehat{HMB}=\widehat{ABM}+\widehat{BMN}=\widehat{MNB}+\widehat{CBN}=\widehat{KNB}+\widehat{KBN}=\widehat{HKB}$
$\to\Delta BHK$ cân tại $B$
$\to BH=BK$
$\to BHIK$ là hình thoi
4.Vì $DN$ là đường kính của $(O), N$ chính giữa cung $BC\to DN$ là trung trực của $BC$
Ta có $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MCK$
$\to \widehat{QCK}=90^o-\dfrac12\widehat{KQC}=90^o-\widehat{KMC}=90^o-\widehat{NMC}=90^o-\widehat{NDC}=\widehat{DNC}=\widehat{DBC}=\widehat{DCB}$
$\to D, Q, C$ thẳng hàng
$\to QK//BD$
Tương tự chứng minh được $D, P, B$ thẳng hàng và $PK//DC$
$\to DQ//PK, DP//QK$
$\to DPKQ$ là hình bình hành
$\to DK\cap PQ$ tại trung điểm mỗi đường
Mà $E$ là trung điểm $PQ\to D, E, K$ thẳng hàng
