Đáp án:
1) $a∈R;a≥0;a\neq1$
2) `E=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}`
3) $a∈R;0≤a<1$
4) $E=\sqrt{2};a=3+2\sqrt{2}$
5) $⇔a∈${$4;9;0$}
6) Min(1/E)=-1 khi $a=0$
Giải thích các bước giải:
1) ĐKXĐ của E là các ĐK của a thỏa mãn các DK sau:
-$a≥0$
-$1-\sqrt{a}\neq0⇔\sqrt{a}\neq1⇔a\neq1$
-$a+\sqrt{a}-2\neq0⇔(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+2)\neq0$ (thỏa mãn)
Kết hợp lại, ta được ĐKXĐ của E là: $a∈R;a≥0;a\neq1$
2) `E=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}+\frac{\sqrt{a}-2}{1-\sqrt{a}}`
`=\frac{3a+3\sqrt{a}-3}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+2)}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}`
`=\frac{(3a+3\sqrt{a}-3)-(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)-(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+2)}`
`=\frac{3a+3\sqrt{a}-3-a+1-a+4}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+2)}`
`=\frac{a+3\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+2)}`
`=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+2)}`
`=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}`
3) Để $E<0$
`⇔\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}<0`
$⇔\sqrt{a}-1<0$ (do $\sqrt{a}+1>0$)
$⇔\sqrt{a}<1$
$⇔a<1$
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được: $E<0⇔a∈R;0≤a<1$
4) Ta có: $a=3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=(1+\sqrt{2})^2$
$⇒\sqrt{a}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=|1+\sqrt{2}|=1+\sqrt{2}$
Thay $\sqrt{a}$ vào `E=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}`, ta được:
`E=\frac{1+\sqrt{2}+1}{1+\sqrt{2}-1}=\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}`
`=\sqrt{2}`
5) Để E nguyên
`⇔\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}∈Z`
`⇔\frac{\sqrt{a}-1+2}{\sqrt{a}-1}∈Z`
`⇔1+\frac{2}{\sqrt{a}-1}∈Z`
`⇔\frac{2}{\sqrt{a}-1}∈Z` $(*)$
Nếu a không là số chính phương
$⇒\sqrt{a}∈I$
$⇒\sqrt{a}-1∈I$
`⇒\frac{2}{\sqrt{a}-1}∈I` (loại)
$⇒a$ là số chính phương
$⇒\sqrt{a}∈Z$
Với ĐK này thì $(*)$
`⇔2⋮\sqrt{a}-1`
$⇔\sqrt{a}-1∈Ư(2)=${$1;2;-1;-2$}
$⇔\sqrt{a}∈${$2;3;0;-1$}
$⇔a∈${$4;9;0$} (loại trường hợp $\sqrt{a}=-1$) (thỏa mãn ĐKXĐ)
6) Ta có:
`1/E=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}`
`=\frac{\sqrt{a}+1-2}{\sqrt{a}+1}`
`=1-\frac{2}{\sqrt{a}+1}`
Do $\sqrt{a}≥0∀a≥0$
$⇒\sqrt{a}+1≥1$
`⇒\frac{1}{\sqrt{a}+1}≤1`
`⇒\frac{-2}{\sqrt{a}+1}≥-2`
`⇒1-\frac{2}{\sqrt{a}+1}≥-1`
`⇒1/E≥-1`
Dấu bằng xảy ra
$⇔\sqrt{a}=0$
$⇔a=0$ (thỏa mãn ĐKXĐ)
