Đáp án:
Giải thích các bước giải: Với $a, b, c > 0$
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1 ⇔ ab + bc + ca = abc$
Ta có$: 2(b - a)² ≥ 0 ⇔ 2b² + 2a² ≥ 4ab$
$ ⇔ 3b² + 6a² ≥ b² + 4ab + 4a²$
$ ⇔ \dfrac{1}{3}(b² + 2a²) ≥ \dfrac{1}{9}(b + 2a)²$
$ ⇔ \sqrt{\dfrac{1}{3}(b² + 2a²)} ≥ \dfrac{1}{3}(b + 2a)$
$ ⇔ c\sqrt{\dfrac{1}{3}(b² + 2a²)} ≥ \dfrac{1}{3}(bc + 2ca) (1)$
Dấu $'=' $ xảy ra $⇔ a = b > 0$
Tương tự :
$a\sqrt{\dfrac{1}{3}(c² + 2b²)} ≥ \dfrac{1}{3}(ca + 2ab) (2)$
$b\sqrt{\dfrac{1}{3}(a² + 2c²)} ≥ \dfrac{1}{3}(ab + 2bc) (3)$
$(1) + (2) + (3):$
$ c\sqrt{\dfrac{1}{3}(b² + 2a²)} + a\sqrt{\dfrac{1}{3}(c² + 2b²)} + b\sqrt{\dfrac{1}{3}(a² + 2c²)} $
$ ≥ ab + bc + ca = abc$
Dấu $'=' $ xảy ra $⇔ a = b = c > 0$
