a, Xét $ΔACD$ có: $M$ là trung điểm của $AC$; $N$ là trung điểm $AD$
$⇒MN$ là đường trung bình của $ΔACD$
$⇒MN//CD$ và $MN=\dfrac{1}{2}CD$ $(1)$
Xét $ΔBCD$ có: $P$ là trung điểm $SD$; $Q$ là trung điểm $BC$
$⇒PQ$ là đường trung bình của $ΔBCD$
$⇒PQ//CD$ và $PQ=\dfrac{1}{2}CD$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $MN=PQ$ và $MN//PQ$
$⇒\widehat{PQN}=\widehat{QNM}$
Xét $ΔPQN$ và $ΔMNQ$có:
+, $QN$ chung
+, $\widehat{PQN}=\widehat{QNM}$
+, $PQ=MN$
$⇒ΔPQN=ΔMNQ(c.g.c)$
$⇒Đpcm$
b, Từ câu $a,$ ta có: $QM=PN$
$⇒MNPQ$ là hình bình hành
Gọi $\{E\}=PN∩Oy$
Xét $ΔABD$ có: $P$ là trung điểm $BD$, $N$ là trung điểm $AD$
$PN$ là đường trung bình của $ΔABD$
$⇒PN//AB//Ox$
$⇒\widehat{xOy}=\widehat{PEy}=90^{0}$ (so le trong)
$⇒\widehat{QPN}=\widehat{PEy}=90^{0}$ (so le trong)
$⇒MNPQ$ là hình chữ nhật
$⇒MP=NQ$