Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm bất kì. Xác định ảnh \({M_1}',\,\,{M_2}'\) của các điểm \({M_1},\,\,{M_2}\) thông qua các phép biến hình.
- Tính độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\) và \({M_1}'{M_2}'\). Nếu \({M_1}{M_2} = {M_1}'{M_2}'\) thì phép biến hình đó là phép dời hình.
Giải chi tiết:Xét phép biến \({F_1}:\,\,M\left( {x;y} \right) \to M'\left( {x + 1;y - 3} \right)\).
Gọi \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\).
Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}{M_1}' = {F_1}\left( {{M_1}} \right) \Rightarrow {M_1}'\left( {{x_1} + 1;{y_1} - 3} \right)\\{M_2}' = {F_1}\left( {{M_2}} \right) \Rightarrow {M_2}'\left( {{x_2} + 1;{y_2} - 3} \right)\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{M_1}{M_2} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \\{M_1}'{M_2}' = \sqrt {{{\left( {{x_2} + 1 - {x_1} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - 3 - {y_1} + 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} = {M_1}{M_2}\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phép biến hình \({F_1}\) bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Do đó \({F_1}\) là biến dời hình.
Xét phép biến \({F_2}:\,\,M\left( {x;y} \right) \to M'\left( { - y;x} \right)\).
Gọi \({N_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({N_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\).
Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}{N_1}' = {F_1}\left( {{N_1}} \right) \Rightarrow {N_1}'\left( { - {y_1};{x_1}} \right)\\{N_2}' = {F_1}\left( {{N_2}} \right) \Rightarrow {N_2}'\left( { - {y_2};{x_2}} \right)\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{N_1}{N_2} = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \\{N_1}'{N_2}' = \sqrt {{{\left( { - {y_2} + {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} = {N_1}{N_2}\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phép biến hình \({F_2}\) bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Do đó \({F_2}\) là biến dời hình.
Vậy cả hai phép biến hình \({F_1}\) và \({F_2}\) đều là phép dời hình.
Chọn D.
